O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p(t) = 40 • 23t
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será
O problema nos fornece uma função que descreve o crescimento de uma população de bactérias ao longo do tempo: \(p(t) = 40 \cdot 2^{3t}\), onde \(t\) é o tempo em horas e \(p(t)\) é a população em milhares de bactérias.
Passo 1: Identificar a população inicial.
A população inicial ocorre no tempo \(t=0\). Substituindo \(t=0\) na fórmula:
\[ p(0) = 40 \cdot 2^{3 \cdot 0} = 40 \cdot 2^0 = 40 \cdot 1 = 40 \]
Portanto, a população inicial é de 40 mil bactérias. Isso também é informado no enunciado ("inicialmente com 40 mil unidades").
Passo 2: Converter o tempo dado para a unidade correta.
A questão pede para analisar a população após 20 minutos. No entanto, a fórmula \(p(t)\) utiliza o tempo \(t\) em horas. Precisamos converter 20 minutos para horas:
\[ 20 \text{ min} = \frac{20}{60} \text{ horas} = \frac{1}{3} \text{ hora} \]
Então, usaremos \(t = 1/3\) na fórmula.
Passo 3: Calcular a população após 20 minutos (t = 1/3 hora).
Substituímos \(t = 1/3\) na fórmula \(p(t)\):
\[ p(1/3) = 40 \cdot 2^{3 \cdot (1/3)} \]
\[ p(1/3) = 40 \cdot 2^1 \]
\[ p(1/3) = 40 \cdot 2 \]
\[ p(1/3) = 80 \]
Após 20 minutos, a população será de 80 mil bactérias.
Passo 4: Comparar a população após 20 minutos com a população inicial.
A população inicial era \(p(0) = 40\) mil bactérias.
A população após 20 minutos é \(p(1/3) = 80\) mil bactérias.
Para encontrar a relação entre elas, podemos calcular a razão:
\[ \frac{p(1/3)}{p(0)} = \frac{80}{40} = 2 \]
Isso significa que a população após 20 minutos é 2 vezes a população inicial.
Conclusão:
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos, a população será duplicada.
A questão envolve o conceito de Função Exponencial, que é usada para modelar processos de crescimento ou decaimento que ocorrem a uma taxa proporcional à quantidade atual. A forma geral é \(f(x) = a \cdot b^{cx}\), onde:
No problema, \(p(t) = 40 \cdot 2^{3t}\):
É crucial prestar atenção às unidades das variáveis. Aqui, \(t\) é dado em horas, então qualquer valor de tempo em outra unidade (como minutos) deve ser convertido para horas antes de ser substituído na fórmula.
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
