UP Medicina 2018/2
O fabricante de instrumentos musicais de cordas, do tipo violão, piano e violino, pode criar instrumentos musicais que emitem sons de frequências diferentes variando as propriedades da corda, como densidade linear, comprimento e tensão aplicada para esticar a corda. Suponha que um fabricante construiu um instrumento no qual uma das cordas vibra no segundo harmônico a 440 Hz, a densidade linear é 5x10-3 kg/m e o seu comprimento é de 50 cm.
Com bases nos dados dessa corda, identifique como verdadeiras (V) ou falsas (F) as seguintes afirmativas:
( ) A frequência do harmônico fundamental é 240 Hz.
( ) A tensão aplicada para esticar a corda é de 242 N.
( ) A velocidade de propagação da onda na corda é de 220 m/s.
( ) O comprimento de onda do quarto harmônico é de 25 cm.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.
F – V – V – V.
V – F – V – F.
V – F – F – V.
V – V – F – F.
F – F – V – V.
Resolução
Resolução passo a passo
Para cordas fixas nas extremidades, os harmônicos obedecem às relações
- Frequência do n-ésimo harmônico: \(f_n = \dfrac{n v}{2L}\)
- Comprimento de onda do n-ésimo harmônico: \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\)
- Velocidade da onda na corda: \(v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\Rightarrow T = \mu v^2\)
Dados do enunciado:
- Segundo harmônico: \(f_2 = 440\,\text{Hz}\)
- Densidade linear: \(\mu = 5\times10^{-3}\,\text{kg\,m}^{-1}\)
- Comprimento da corda: \(L = 50\,\text{cm} = 0,50\,\text{m}\)
1) Frequência fundamental
Para uma mesma corda, \(f_2 = 2 f_1\). Logo
\[f_1 = \frac{f_2}{2} = \frac{440}{2} = 220\,\text{Hz}\]A afirmativa diz 240 Hz → Falsa.
2) Tensão na corda
Primeiro calculemos a velocidade utilizando o segundo harmônico:
\[v = f_2 L = 440\,\text{Hz}\times0{,}50\,\text{m} = 220\,\text{m\,s}^{-1}\]Agora a tensão:
\[T = \mu v^2 = 5\times10^{-3}\,\text{kg\,m}^{-1}\,(220)^2 = 0{,}005\times48400 \approx 242\,\text{N}\]Valor coincide com o dado → Verdadeira.
3) Velocidade da onda
Acabamos de obter \(v = 220\,\text{m\,s}^{-1}\) → Verdadeira.
4) Comprimento de onda do quarto harmônico
\[\lambda_4 = \frac{2L}{4} = \frac{1{,}0}{4} = 0{,}25\,\text{m} = 25\,\text{cm}\]Coincide com a afirmativa → Verdadeira.
Sequência
De cima para baixo: F – V – V – V
Alternativa correta: A.
Dicas
Erros Comuns
- Harmônicos em cordas fixas: \(f_n = n f_1\), com nodos nas extremidades.
- Relação frequência–velocidade–comprimento: \(f_n = \dfrac{n v}{2L}\) e \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\).
- Velocidade de onda mecânica em corda: \(v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\).
