UFPR 2021
O estágio inicial de um modelo epidemiológico, que mede o número de pessoas infectadas em uma população, é descrito pela função I(t)=I02rt,em que I(t) representa o número de infectados da população, I0 > 0 representa o número inicial de infectados, r > 0 representa a taxa de contágio e t é o tempo medido em dias desde o início da epidemia.
Com relação ao número de infectados, é correto afirmar:
Caso a taxa de infectados r esteja no intervalo (0,1), então o número de infectados I(t) decresce conforme os dias passam.
Caso I0 = 3 e r = 2,3, então o número de infectados I(t) aumenta desde o primeiro dia até atingir um máximo por volta do sexto dia, e depois começa a decrescer.
Caso I0 =1 e r =1, então a cada dia que passa a quantidade de infectados I(t)aumenta em 2.
Caso I0 = 1 e r = 0,5 , então é necessário pelo menos 20 dias para que o número de infectados I(t) seja maior que 1.000.
Se a taxa de contágio r aumentar, então haverá menos pessoas infectadas conforme os dias passam.
Resolução
Primeiro, observe a função dada:
\[ I(t)=I_0\,2^{rt}\]
Como \(I_0>0\) e a base da potência é \(2>1\), para todo \(r>0\) a função é exponencial crescente em relação ao tempo \(t\).
Análise de cada alternativa
- A) Se \(0<r<1\) ainda temos \(2^{rt}>1\) para \(t>0\); logo \(I(t)\) cresce (não decresce). Falsa.
- B) Com \(I_0=3\) e \(r=2{,}3\) a função continua sendo crescente e não atinge máximo para depois diminuir. Falsa.
- C) Para \(I_0=1\) e \(r=1\) temos \(I(t)=2^{t}\). A cada dia o valor duplica; não há acréscimo fixo de 2. Falsa.
- D) Para \(I_0=1\) e \(r=0{,}5\):
\[ I(t)=2^{0,5t}=2^{t/2}. \]
Queremos \(I(t)>1000\):
\[ 2^{t/2}>1000\quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{2}>\log_2 1000. \]
Como \(2^{10}=1024\), temos \(\log_2 1000\approx9,97\). Então
\[ \frac{t}{2}>9,97 \;\Longrightarrow\; t>19,94. \]
Portanto são necessários pelo menos 20 dias. Verdadeira. - E) Se \(r\) aumenta, o expoente \(rt\) cresce mais rápido ⇒ \(I(t)\) aumenta (não diminui). Falsa.
Resposta: alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
Funções Exponenciais
- Uma função da forma \(f(t)=a\,b^{kt}\) com \(a>0\), \(b>1\) e \(k>0\) é crescente para todo \(t\).
- Para comparar valores ou resolver desigualdades exponenciais, usa-se logaritmo: \(b^{x}>M \iff x>\log_b M\).
- O acréscimo diário em funções exponenciais é multiplicativo, não aditivo.
