UFRGS HIS MAT 2015
O emblema de um super-herói tem a forma pentagonal, como representado na figura abaixo.
A área do emblema é
Resolução
1. Identificando as medidas no desenho
- O topo do pentágono é um segmento horizontal de comprimento 8 cm.
- Em cada canto superior existe um pequeno segmento que desce 1 cm.
- A partir desse ponto, parte um lado oblíquo de comprimento 10 cm, que vai até o vértice inferior.
- O ângulo interno no vértice inferior vale \(60^{\circ}\).
2. Colocando o polígono num sistema de coordenadas
Convenientemente, colocamos:
- \(A(-4,0)\) e \(B(4,0)\) como extremos do lado superior (8 cm).
- Os pequenos segmentos de 1 cm descem até \(D'(-5,-1)\) e \(D(5,-1)\) (simetria em relação ao eixo y).
3. Encontrando a posição do vértice inferior
O triângulo \(D'FD\) é isósceles, com \(FD = FD' = 10\) e ângulo \(\widehat{D'FD}=60^{\circ}\).
A base \(\overline{D'D}\) mede
\[|D'D| = \sqrt{10^{2}+10^{2}-2\,10\,10\cos60^{\circ}} = \sqrt{100+100-100}=10.\]
Como \(D'D = 10\) é horizontal, o ponto médio está em \((0,-1)\). Logo o vértice inferior \(F\) tem abscissa 0.
Pela distância FD:
\[\sqrt{5^{2} + (y_F + 1)^{2}} = 10 \Longrightarrow (y_F + 1)^{2}=75 \Longrightarrow y_F = -1-5\sqrt3.\]
Portanto:
- \(F(0,-1-5\sqrt3)\).
4. Cálculo da área (fórmula do polígono / "shoelace")
Ordem dos vértices (sentido horário):
\(A(-4,0),\; B(4,0),\; D(5,-1),\; F(0,-1-5\sqrt3),\; D'(-5,-1).\)
Aplica-se:
\[\text{Área}=\frac12 \Bigl|\sum x_i y_{i+1}-\sum y_i x_{i+1}\Bigr|.\]
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i y_{i+1}\) | \(y_i x_{i+1}\) |
|---|---|---|---|
| -4 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | -4 | 0 |
| 5 | -1 | -5-25\sqrt3 | 0 |
| 0 | -1-5\sqrt3 | 0 | 5+25\sqrt3 |
| -5 | -1 | 0 | 4 |
Somando:
\[\sum x_i y_{i+1} = -9-25\sqrt3,\qquad \sum y_i x_{i+1}=9+25\sqrt3.\]
Logo
\[\text{Área}=\tfrac12\,|(-9-25\sqrt3)-(9+25\sqrt3)|=\tfrac12\,(18+50\sqrt3)=9+25\sqrt3.\]
5. Conclusão
A área do emblema é \(\boxed{9+25\sqrt3}\;\text{cm}^2\).
Dicas
Erros Comuns
- Lei dos Cossenos — permite encontrar lados ou ângulos em triângulos que não são retângulos.
- Simetria — simplifica eixos e coordenadas quando o desenho é espelhado.
- Fórmula do polígono (Shoelace) — calcula a área de um polígono qualquer a partir das coordenadas dos vértices.
- Decomposição em figuras conhecidas — muitas vezes áreas podem ser obtidas somando ou subtraindo triângulos e trapézios.
