IFRS Superior 2019/2
O domínio da função
f(x) = logx-1(-x2 + 2x + 3) é
D = {x∈R/x = -1 ou x = 3}
D = {x∈R/x > 2}
D = {x∈R/ 1 < x < 3 e x ≠ 2}
D = {x∈R/ -1 < x < 3}
D = {x∈R/ -1 < x < 3 e x ≠ 2}
Resolução
Passo 1 – Condições para o logaritmo existir
Para que \(f(x)=\log_{x-1}(-x^{2}+2x+3)\) esteja definida, devem ser satisfeitas duas condições simultâneas:
- Base do logaritmo (\(x-1\)):
- \(x-1 > 0 \; \Rightarrow \; x > 1\);
- \(x-1 \neq 1 \; \Rightarrow \; x \neq 2\) (a base não pode ser 1).
- Argumento do logaritmo (\(-x^{2}+2x+3\)):
- \(-x^{2}+2x+3 > 0\).
Passo 2 – Resolva a desigualdade do argumento
Escreva a expressão com coeficiente de \(x^{2}\) positivo, lembrando de inverter o sinal da desigualdade:
\[ -x^{2}+2x+3 > 0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}-2x-3 < 0. \]Calcule as raízes de \(x^{2}-2x-3=0\):
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}\;\Longrightarrow\; x=-1\;\text{ou}\;x=3. \]Como o coeficiente de \(x^{2}\) é positivo, a parábola se abre para cima. Assim, a expressão é negativa entre as raízes:
\[ -1 < x < 3. \]Passo 3 – Interseção das condições
Reúna todas as restrições:
- \(x > 1\);
- \(x \neq 2\);
- \(-1 < x < 3\).
A interseção é
\[ 1 < x < 3 \quad \text{com} \quad x \neq 2. \]Domínio
\(D = \{\,x\in\mathbb{R}\mid 1 < x < 3\;\text{e}\;x\neq2\,\}.\)
Alternativa correta: C.
Dicas
Erros Comuns
Logaritmo: para \(\log_{a}b\) existir é necessário:
- Base: \(a>0\) e \(a\neq1\);
- Argumento: \(b>0\).
Domínio de funções: conjunto de valores de \(x\) para os quais a expressão é válida. Deve-se impor todas as restrições e depois fazer a interseção.
