OBMEP Nível 3 2017

Como o bloco A sobe o plano com velocidade constante, o sistema está em equilíbrio dinâmico (aceleração nula). Assim, basta igualar as forças que atuam em cada corpo.

1. Geometria do plano

• Comprimento do plano (hipotenusa): 20 m
• Altura: 12 m

O triângulo é 12-16-20, logo

\(\sin\theta = \dfrac{12}{20}=0{,}6\)    e    \(\cos\theta = \dfrac{16}{20}=0{,}8\).

2. Relação entre os deslocamentos

A corda passa pelo bloco B em uma polia móvel. Quando o bloco A sobe \(\Delta s\) ao longo do plano, a polia móvel desce \(\dfrac{\Delta s}{2}\). Logo, a velocidade de B é metade da de A. Mas, como a velocidade é constante, isso só afeta o vínculo geométrico, e não a condição de equilíbrio (\(a=0\)).

3. Forças no bloco A

• Tração \(T\) para cima do plano.
• Peso componente paralelo: \(m_A g \sin\theta\) para baixo do plano.
• Atrito cinético: \(f=\mu m_A g \cos\theta\) (também para baixo).

Equilíbrio em A (sentido positivo para cima do plano):

\[ T - m_A g\sin\theta - \mu m_A g\cos\theta = 0. \tag{1}\]

4. Forças no conjunto (polia móvel + bloco B)

• Peso de B: \(m_B g\) para baixo.
• As duas porções da corda exercem força \(T\) cada, totalizando \(2T\) para cima.

Equilíbrio em B (sentido positivo para baixo):

\[ m_B g - 2T = 0 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; T = \frac{m_B g}{2}. \tag{2}\]

5. Igualando as expressões de T

Substituindo (2) em (1) e simplificando \(g\):

\[ m_A(\sin\theta + \mu\cos\theta) = \frac{m_B}{2}. \]

Dados: \(m_A = 1{,}0\,\text{kg}\), \(m_B = 1{,}6\,\text{kg}\).

\[ 1{,}0\,(0{,}6 + 0{,}8\mu) = \frac{1{,}6}{2} = 0{,}8. \]

\[ 0{,}6 + 0{,}8\mu = 0{,}8 \;\;\Rightarrow\;\; 0{,}8\mu = 0{,}2 \;\;\Rightarrow\;\; \mu = 0{,}25. \]

Resposta:

O coeficiente de atrito é \(\boxed{\mu = 0{,}25}.\)