ENEM 2009
O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%.
Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
2 × (0,2%)4.
4 × (0,2%)2.
6 × (0,2%)2 × (99,8%)2.
4 × (0,2%).
6 × (0,2%) × (99,8%).
Resolução
Análise do Problema:
Este é um problema clássico de probabilidade que se encaixa no modelo de Distribuição Binomial. Vamos identificar os parâmetros:
- O número de tentativas (aparelhos vendidos) é fixo e igual a \(n = 4\).
- Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: o aparelho é defeituoso (sucesso) ou não é defeituoso (fracasso).
- A probabilidade de sucesso (aparelho defeituoso) é constante para cada tentativa: \(p = 0,2\% = 0,002\).
- As tentativas são independentes (o defeito em um aparelho não afeta os outros).
Queremos calcular a probabilidade de ocorrerem exatamente \(k = 2\) sucessos (aparelhos defeituosos) em \(n = 4\) tentativas.
Fórmula da Distribuição Binomial:
A probabilidade de obter exatamente \(k\) sucessos em \(n\) tentativas independentes é dada pela fórmula:
\[ P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]Onde:
- \(C(n, k)\) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \(k\) sucessos em \(n\) tentativas. É calculado como \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
- \(p\) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- \(1-p\) é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
- \(n\) é o número total de tentativas.
- \(k\) é o número de sucessos desejado.
Aplicação ao Problema:
- Identificar os valores:
- \(n = 4\) (número de aparelhos)
- \(k = 2\) (número de aparelhos defeituosos)
- \(p = 0,2\%\) (probabilidade de um aparelho ser defeituoso)
- \(1-p = 100\% - 0,2\% = 99,8\%\) (probabilidade de um aparelho não ser defeituoso)
- Calcular o coeficiente binomial \(C(n, k)\):
\(C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6\)
Isso significa que existem 6 maneiras diferentes de escolher 2 aparelhos defeituosos entre os 4 vendidos.
- Substituir na fórmula binomial:
\(P(X=2) = C(4, 2) \times p^2 \times (1-p)^{4-2}\)
\(P(X=2) = 6 \times (0,2\%)^2 \times (99,8\%)^{2}\)
Conclusão:
A probabilidade de o cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos é \(6 \times (0,2\%)^2 \times (99,8\%)^2\). Isso corresponde à alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
Distribuição Binomial
A Distribuição Binomial é usada para modelar a probabilidade de um número específico de "sucessos" ocorrer em um número fixo de "tentativas" independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Condições para usar a Distribuição Binomial:
- Número fixo de tentativas (\(n\)).
- Cada tentativa é independente das outras.
- Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso/fracasso).
- A probabilidade de sucesso (\(p\)) é constante para todas as tentativas.
Fórmula:
A probabilidade de \(k\) sucessos em \(n\) tentativas é:
\[ P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]Onde \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) é o número de combinações.
Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
