UNESP 2009/1

Passo a passo da solução:

1. Identificar a fórmula e os dados fornecidos: A altitude \(h\) em km é dada pela função \(h(p) = 20 \cdot \log_{10} (1/p)\), onde \(p\) é a pressão atmosférica em atm. Foi dada a pressão \(p = 0,4\) atm e a aproximação \(\log_{10} 2 = 0,3\).
2. Substituir o valor de \(p\) na fórmula: Substituindo \(p = 0,4\) na fórmula, temos: \[h(0,4) = 20 \cdot \log_{10} \left(\frac{1}{0,4}\right)\]
3. Simplificar a expressão dentro do logaritmo: Calcule o valor de \(1/0,4\). Sabendo que \(0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\), temos: \[\frac{1}{0,4} = \frac{1}{4/10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5\] Portanto, a equação se torna: \[h(0,4) = 20 \cdot \log_{10} (2,5)\]
4. Calcular o valor do logaritmo \(\log_{10} (2,5)\) usando a aproximação dada: Precisamos calcular \(\log_{10} (2,5)\), que é \(\log_{10} (5/2)\). Usaremos as propriedades dos logaritmos: \(\log_{10}(a/b) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b)\). \[\log_{10} (5/2) = \log_{10}(5) - \log_{10}(2)\] Sabemos que \(\log_{10}(2) = 0,3\). Para encontrar \(\log_{10}(5)\), podemos usar o fato de que \(5 = 10/2\) e a propriedade \(\log_{10}(10) = 1\): \[\log_{10}(5) = \log_{10}(10/2) = \log_{10}(10) - \log_{10}(2)\] \[\log_{10}(5) = 1 - \log_{10}(2)\] Substituindo a aproximação dada: \[\log_{10}(5) = 1 - 0,3 = 0,7\] Agora, podemos calcular \(\log_{10} (5/2)\): \[\log_{10} (5/2) = \log_{10}(5) - \log_{10}(2) = 0,7 - 0,3 = 0,4\]
5. Calcular a altitude \(h\): Substitua o valor do logaritmo de volta na equação da altitude: \[h(0,4) = 20 \cdot \log_{10} (2,5) = 20 \cdot 0,4\] \[h(0,4) = 8\]

Portanto, a altitude \(h\) do avião nesse instante era de 8 quilômetros.

Método alternativo:

1. Comece com \(h(0,4) = 20 \cdot \log_{10} (1/0,4)\).
2. Use a propriedade \(\log_{10}(1/a) = -\log_{10}(a)\): \[h(0,4) = 20 \cdot [-\log_{10}(0,4)]\]
3. Escreva 0,4 como fração: \(0,4 = 4/10\). \[h(0,4) = -20 \cdot \log_{10}(4/10)\]
4. Use a propriedade \(\log_{10}(a/b) = \log_{10}(a) - \log_{10}(b)\): \[h(0,4) = -20 \cdot [\log_{10}(4) - \log_{10}(10)]\]
5. Calcule \(\log_{10}(4)\) usando \(\log_{10}(4) = \log_{10}(2^2) = 2 \cdot \log_{10}(2)\). Com \(\log_{10}(2) = 0,3\), temos \(\log_{10}(4) = 2 \cdot 0,3 = 0,6\).
6. Sabemos que \(\log_{10}(10) = 1\).
7. Substitua os valores: \[h(0,4) = -20 \cdot [0,6 - 1]\] \[h(0,4) = -20 \cdot [-0,4]\] \[h(0,4) = 8\]

Ambos os métodos levam à mesma resposta: 8 km.