OBMEP 2012

Sejam

• \(K_0\): n.º inicial de crianças na cozinha
• \(S_0\): n.º inicial de crianças na sala
• \(V_0\): n.º inicial de crianças na varanda

Depois da movimentação:

• 7 vão da varanda para a cozinha.
• 5 vão da cozinha para a sala.
• 4 vão da sala para a varanda.

Chamemos \(x\) ao número final de crianças em cada cômodo.

Montando as equações

Cozinha:

\[K_1 = K_0 + 7 - 5 = K_0 + 2 = x\]

Logo \(K_0 = x - 2\).

Sala:

\[S_1 = S_0 + 5 - 4 = S_0 + 1 = x\]

Logo \(S_0 = x - 1\).

Varanda:

\[V_1 = V_0 - 7 + 4 = V_0 - 3 = x\]

Logo \(V_0 = x + 3\).

Total inicial

\[T = K_0 + S_0 + V_0 = (x - 2) + (x - 1) + (x + 3) = 3x.\]

Restrições

• Cada quantia inicial deve ser não-negativa.
• Não se pode mover mais crianças do que as existentes:

\(\begin{cases}V_0 \ge 7\\K_0 \ge 5\\S_0 \ge 4\end{cases}\)

Substituindo:

\(\begin{cases}x+3 \ge 7 &\Rightarrow x \ge 4\\x-2 \ge 5 &\Rightarrow x \ge 7\\x-1 \ge 4 &\Rightarrow x \ge 5\end{cases}\)

A condição mais forte é \(x \ge 7\).

Mínimo possível

Tomando \(x=7\):

• \(K_0 = 7-2 = 5\)
• \(S_0 = 7-1 = 6\)
• \(V_0 = 7+3 = 10\)

É possível, pois:

• Varanda tinha 10, saem 7 (ficam 3) e chegam 4 → 7.
• Cozinha tinha 5, saem 5 (ficam 0) e chegam 7 → 7.
• Sala tinha 6, saem 4 (ficam 2) e chegam 5 → 7.

Logo o total mínimo é

\[T = 3x = 3\times7 = 21.\]

Resposta: 21.