UFAM 2014
Num triângulo ABC , o ângulo  é reto. A altura h relativa ao lado BC divide a hipotenusa em dois segmentos m e n (m > n ). Sabendo que o cateto b é o triplo do cateto c , então podemos afirmar que \(\frac{n}{m}\) é:
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{9}\)
3
9
Resolução
No triângulo retângulo \(ABC\) com \(\angle A = 90^{\circ}\), seja \(D\) o pé da altura traçada de \(A\) até a hipotenusa \(BC\). Assim, \(BD = m\) e \(DC = n\), com \(m > n\).
Há um resultado clássico (proveniência das semelhanças de triângulos ABD, ADC e ABC):
- \(b^{2}=a\,m\)
- \(c^{2}=a\,n\)
- \(h^{2}=m\,n\)
onde \(a=BC\) é a hipotenusa, \(b=AC\) e \(c=AB\) são os catetos.
O enunciado informa \(b=3c\). Logo,
\[\frac{m}{n}=\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{(3c)^{2}}{c^{2}}=9\]
Inversamente,
\[\frac{n}{m}=\frac{1}{9}.\]
Portanto, \(\displaystyle\frac{n}{m}=\frac{1}{9}\).
Alternativa correta: C
Dicas
Erros Comuns
- Semelhança de triângulos – A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo gera três triângulos semelhantes entre si.
- Projeções na hipotenusa – Para esses triângulos vale: \(b^{2}=a\,m\), \(c^{2}=a\,n\) e \(h^{2}=m\,n\).
- Relação entre catetos – Conhecendo a proporção entre os catetos, podemos relacionar as projeções \(m\) e \(n\).
