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ITA 2001
Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a:
a
12
b
11
c
10
d
9
e
8
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Resposta
C
Resolução
Seja o trapézio retângulo ABCD com bases paralelas \(\overline{AB}\) (menor) e \(\overline{CD}\) (maior), com \(\angle B = 90^{\circ}\) (portanto \(\overline{BC}\) é altura) e lado oblíquo \(\overline{AD}\).
1. Relações dadas
- Trapézio circunscritível → soma de lados opostos: \(AB + CD = BC + AD\).
- Dados: \(AB + CD = 18\;\text{cm}\) e \(|AD - BC| = 2\;\text{cm}\).
2. Determinação dos lados não paralelos
Seja \(BC = h\). Como o lado oblíquo é maior, \(AD = h + 2\).
Pela condição de tangência:
\[(BC + AD) = (AB + CD) \Rightarrow h + (h+2) = 18 \Rightarrow 2h = 16 \Rightarrow h = 8\;\text{cm}\]\[AD = 8+2 = 10\;\text{cm}\]
3. Relação entre as bases
No trapézio retângulo forma-se o triângulo retângulo de catetos \(h\) e \(CD-AB\), cuja hipotenusa é \(AD\):
\[AD^{2} = (CD-AB)^{2} + h^{2} \Rightarrow 10^{2} = (CD-AB)^{2} + 8^{2} \Rightarrow (CD-AB)^{2} = 36 \Rightarrow CD-AB = 6\;\text{cm}\]
Sistema:
\[\begin{cases} AB + CD = 18\\ CD - AB = 6 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} CD = 12\\ AB = 6 \end{cases}\]
4. Raio da circunferência inscrita
Em qualquer quadrilátero tangencial vale \(\text{Área} = r\cdot s\) (\(s\): semiperímetro).
Perímetro: \(6 + 8 + 12 + 10 = 36\;\Rightarrow s = 18\).
Área do trapézio:
\[A = \dfrac{AB + CD}{2}\,h = \dfrac{6+12}{2}\,\cdot 8 = 9\cdot 8 = 72\;\text{cm}^2\]
Logo:
\[r = \dfrac{A}{s} = \dfrac{72}{18} = 4\;\text{cm}\]
5. Quantidade pedida
\[a + r = 6 + 4 = 10\;\text{cm}\]
Resposta: 10 (alternativa C).
Dicas
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Use a propriedade de que, em um quadrilátero com circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais.
Considere que o lado oblíquo é maior que a altura, já que o trapézio é retângulo.
Calcule r por meio da relação área = r·semiperímetro.
Erros Comuns
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Esquecer que em quadriláteros tangenciais a soma dos lados opostos é igual.
Confundir qual lado é o menor ao somar com o raio.
Aplicar o Teorema de Pitágoras entre lados errados, invertendo as bases.
Trocar a ordem da diferença, assumindo BC > AD.
Usar área = r·perímetro em vez de r·semiperímetro, obtendo r incorreto.
Revisão
- Trapézio retângulo: possui um lado não paralelo perpendicular às bases; esse lado é a altura.
- Quadrilátero tangencial: admite circunferência inscrita ⇔ soma dos comprimentos de lados opostos é igual.
- Raio da circunferência inscrita: em qualquer polígono tangencial, \(A = r\,s\) (área = raio × semiperímetro).
- Triângulo retângulo: Teorema de Pitágoras, usado entre as bases e a altura para obter o lado oblíquo.
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