UFGD 2021
Num determinado experimento laboratorial, certo tipo de bactéria se multiplica e, em média, seu número aumenta 2,4 vezes a cada 3,5 horas.
Supondo que o tubo de ensaio no laboratório contenha inicialmente 1.000 dessas bactérias, de acordo com o modelo de função exponencial, em quantas horas o número dessas bactérias atingiria cerca de 4 × 1010?
Use log2 = 0,30 e log3 = 0,48
63 horas.
70 horas.
77 horas
84 horas
91 horas.
Resolução
Seja:
- P0 = 1 000 (103) – quantidade inicial de bactérias.
- q = 2{,}4 – fator de multiplicação a cada 3,5 h.
- t – tempo (em horas) necessário para atingir N = 4 × 1010 bactérias.
Modelando pelo crescimento exponencial, temos
N = P0 · qn,
onde n é o número de períodos de 3,5 h transcorridos.
Então
2{,}4n = \(\dfrac{4\times10^{10}}{10^{3}} = 4\times10^{7}\).
Aplicando logaritmo decimal (log):
n · log 2{,}4 = log 4 + 7.
Cálculo de log 2,4 (usando os valores dados):
2{,}4 = \(\dfrac{24}{10}\) = 3·23/10 ⇒
log 2{,}4 = log 24 – 1 = (log 3 + 3·log 2) – 1 = 0{,}48 + 0{,}90 – 1 = 0{,}38.
Além disso, log 4 = 2·log 2 = 0{,}60.
n = \(\dfrac{0,60 + 7}{0,38} = \dfrac{7,60}{0,38} = 20\) períodos.
Cada período dura 3,5 h, logo
t = 20 · 3,5 = 70 h.
Resposta: 70 horas (alternativa B).
Dicas
Erros Comuns
Função exponencial
Numa função do tipo \(P(t) = P_0·q^{t/\Delta t}\), a grandeza cresce (ou decresce) por um fator fixo q em intervalos iguais \(\Delta t\).
Logaritmo
Para resolver equações exponenciais do tipo \(q^x = A\), usa-se log dos dois lados: \(x = \dfrac{\log A}{\log q}\).
Conversões úteis
- Potências de 10: 1 000 = 103.
- Propriedades: log (ab) = log a + log b; log (a/b) = log a – log b.
