FUVEST 1981

Sejam \(a,\,b,\,c,\,d\) o número de moedas nos pratos A, B, C e D, respectivamente.

Condições iniciais fornecidas:

• Cada prato contém de 1 a 3 moedas \(\;(1\le a,b,c,d\le 3)\).
• Total de moedas: \(a+b+c+d = 8\).
• Figura mostra:
  – No braço esquerdo (A-B) o prato B está mais baixo ⇒ \(b > a\).
  – No braço direito (C-D) o prato C está mais baixo ⇒ \(c > d\).
  – O conjunto direito (C+D) está mais baixo que o esquerdo ⇒ \(c+d > a+b\).

Vamos encontrar uma distribuição que satisfaça todos os requisitos.

1. Listagem das possibilidades

O par \((a,b)\) (com \(b>a\)) pode ser:

• \((1,2)\) ⇒ \(a+b = 3\)
• \((1,3)\) ⇒ \(a+b = 4\)
• \((2,3)\) ⇒ \(a+b = 5\)

Como \(a+b+c+d = 8\), temos:

• Se \(a+b = 3\) ⇒ \(c+d = 5\).
  Único par com \(c>d\): \((3,2)\).
  Distribuição: \((a,b,c,d) = (1,2,3,2)\).
  Verificações: \(b>a\), \(c>d\) e \(c+d =5 > 3 = a+b\). ✔
• Se \(a+b = 4\) ⇒ \(c+d = 4\).
  Para \(c>d\) só restaria \((3,1)\), mas então \(c+d = 4 = a+b\); não atende \(c+d > a+b\). ✖
• Se \(a+b = 5\) ⇒ \(c+d = 3\).
  Possível par \((2,1)\).
  Teríamos \(c+d = 3 < 5 = a+b\); inclina a balança para o outro lado. ✖

A única configuração compatível com a figura é, portanto,

A = 1,  B = 2,  C = 3,  D = 2.

2. Escolha da transferência

Queremos uma única troca que:

• Iguale os pesos em cada braço secundário: \(a' = b'\) e \(c' = d'\).
• Iguale os pesos nos dois lados do eixo principal: \(a'+b' = c'+d'\).

Analisemos cada alternativa (sempre conferindo se continuamos com 1–3 moedas por prato):

1. A: B → D ⇒ (1,1,3,3).
   Braços secundários equilibram-se, mas o lado direito fica 6 contra 2: desequilíbrio.
2. B: C → A ⇒ (2,2,2,2).
   Todos os pratos ficam com 2 moedas:
   – A = B,  C = D;
   – Lado esquerdo 4, lado direito 4.
   Balanceamento perfeito. ✔
3. C: C → B ⇒ (1,3,2,2).
   Braço esquerdo continua desequilibrado (3 > 1).
4. D: B → A ⇒ (2,1,3,2).
   Inverte o desequilíbrio no braço esquerdo e mantém desequilíbrio geral.
5. E: C → D ⇒ (1,2,2,3).
   Agora D > C, invertendo o braço direito.

Somente a alternativa B produz equilíbrio em todos os níveis.

Resposta:

Retirar uma moeda do prato C e colocá-la no prato A.