OBMEP Nível 3 2008

Sejam Q(0,0) e R(2,0). Como o triângulo é isósceles com PQ = PR = 3, o ponto P deve satisfazer

\(x^{2}+y^{2}=9\qquad\text{e}\qquad(x-2)^{2}+y^{2}=9\).

Subtraindo, obtém-se \(x=1\). Logo \(y^{2}=8\Rightarrow y=2\sqrt2\). Assim:

\(P(1,2\sqrt2)\).

1. Centro e circunferência

Para achar o centro O da circunferência circunscrita basta intersectar as mediatrizes de QR e QP.

• Mediatriz de QR: vertical \(x=1\).
• Mediatriz de QP: passa por \(M_2(0{,}5,\sqrt2)\) e tem declive \(-1/(2\sqrt2)\).

Daí

\(O=\bigl(1,\;\sqrt2-\tfrac1{4\sqrt2}\bigr)=\left(1,\frac{7}{4\sqrt2}\right).\)

2. Tangente em Q

A reta OQ tem declive \(m_{rad}=\frac{7}{4\sqrt2}\); portanto a tangente em Q é perpendicular a OQ e possui declive

\(m_{tan}=-\frac1{m_{rad}}=-\frac{4\sqrt2}{7}.\)

Logo a equação da tangente é

\(y=-\frac{4\sqrt2}{7}\,x.\)

3. Prolongamento de PR

A reta PR passa por P(1,2√2) e R(2,0); seu declive é

\(m_{PR}=\frac{0-2\sqrt2}{2-1}=-2\sqrt2,\)

e a equação é \(y=-2\sqrt2(x-2).\)

4. Ponto X = tangente ∩ prolongamento

Iguais valores de y:

\(-\frac{4\sqrt2}{7}x=-2\sqrt2(x-2)\;\Longrightarrow\;\frac{2}{7}x=x-2\;\Longrightarrow\;x=\frac{14}{5}.\)

Então

\(X\left(\frac{14}{5},\; -\frac{8\sqrt2}{5}\right).\)

5. Cálculo de RX

Como R(2,0),

\(\overline{RX}^{2}=\left(\frac{14}{5}-2\right)^{2}+\left(-\frac{8\sqrt2}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\frac{128}{25}=\frac{16}{25}+\frac{128}{25}=\frac{144}{25}.\)

Logo \(RX=\frac{12}{5}.\)

Resposta: \(\dfrac{12}{5}\). (alternativa B)