ENEM 2019 segunda aplicação
No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é o ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais.
Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.
A razão entre BC e AD que determina áreas iguais para os cinco triângulos mostrados na figura é
1/3
2/3
2/5
3/5
5/6
Resolução
Seja ABCD o trapézio isósceles, com base menor BC e base maior AD. Seja \(b\) o comprimento da base menor BC e \(B\) o comprimento da base maior AD. Seja \(h\) a altura do trapézio, que é a distância perpendicular entre as bases paralelas BC e AD.
De acordo com o enunciado:
- M é o ponto médio de BC. Portanto, \(BM = MC = \frac{b}{2}\).
- P e Q dividem AD em três partes iguais. Portanto, \(AP = PQ = QD = \frac{B}{3}\).
A figura mostra cinco triângulos internos ao trapézio: ABP, PBM, PMQ, MCQ e QCD. O problema afirma que esses cinco triângulos têm áreas iguais.
Vamos calcular a área de cada triângulo usando a fórmula Área = (base × altura) / 2.
-
Área do triângulo ABP (\(A_{ABP}\)):
Base = AP = \(\frac{B}{3}\)
Altura = altura do trapézio relativa à base AD = \(h\)
\(A_{ABP} = \frac{AP \times h}{2} = \frac{(\frac{B}{3}) \times h}{2} = \frac{Bh}{6}\) -
Área do triângulo QCD (\(A_{QCD}\)):
Base = QD = \(\frac{B}{3}\)
Altura = altura do trapézio relativa à base AD = \(h\)
\(A_{QCD} = \frac{QD \times h}{2} = \frac{(\frac{B}{3}) \times h}{2} = \frac{Bh}{6}\) -
Área do triângulo PBM (\(A_{PBM}\)):
Base = BM = \(\frac{b}{2}\)
Altura = distância perpendicular do ponto P (na linha AD) à linha BC = altura do trapézio \(h\).
\(A_{PBM} = \frac{BM \times h}{2} = \frac{(\frac{b}{2}) \times h}{2} = \frac{bh}{4}\) -
Área do triângulo MCQ (\(A_{MCQ}\)):
Base = MC = \(\frac{b}{2}\)
Altura = distância perpendicular do ponto Q (na linha AD) à linha BC = altura do trapézio \(h\).
\(A_{MCQ} = \frac{MC \times h}{2} = \frac{(\frac{b}{2}) \times h}{2} = \frac{bh}{4}\) -
Área do triângulo PMQ (\(A_{PMQ}\)):
Base = PQ = \(\frac{B}{3}\)
Altura = distância perpendicular do ponto M (na linha BC) à linha AD = altura do trapézio \(h\).
\(A_{PMQ} = \frac{PQ \times h}{2} = \frac{(\frac{B}{3}) \times h}{2} = \frac{Bh}{6}\)
A condição do problema é que todas essas áreas são iguais:
\[ A_{ABP} = A_{PBM} = A_{PMQ} = A_{MCQ} = A_{QCD} \]Podemos igualar qualquer uma das áreas que dependem de \(B\) com qualquer uma das áreas que dependem de \(b\). Por exemplo, igualando \(A_{ABP}\) e \(A_{PBM}\):
\[ \frac{Bh}{6} = \frac{bh}{4} \]Como \(h > 0\) (pois é a altura de um trapézio), podemos dividir ambos os lados por \(h\):
\[ \frac{B}{6} = \frac{b}{4} \]Queremos encontrar a razão entre BC e AD, que é \(\frac{b}{B}\). Rearranjando a equação:
\[ 4B = 6b \] \[ \frac{b}{B} = \frac{4}{6} \]Simplificando a fração:
\[ \frac{b}{B} = \frac{2}{3} \]Portanto, a razão entre BC e AD que determina áreas iguais para os cinco triângulos é 2/3.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental entender os seguintes conceitos:
- Área de um Triângulo: A área de um triângulo é calculada como metade do produto da base pela altura relativa a essa base: \( A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} \). É crucial identificar corretamente a base e a altura perpendicular a essa base.
- Trapézio: Um quadrilátero com pelo menos um par de lados paralelos (as bases). Em um trapézio isósceles, as bases são paralelas (BC || AD), os lados não paralelos têm comprimentos iguais (AB = CD) e os ângulos da base são iguais.
- Altura do Trapézio: A distância perpendicular entre as bases paralelas. Essa altura é a mesma para todos os pontos de uma base em relação à outra base.
- Ponto Médio: Um ponto que divide um segmento de reta em duas partes de comprimentos iguais.
- Divisão de Segmento: Pontos que dividem um segmento de reta em partes de comprimentos iguais.
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
