CESGRANRIO 2016
No retângulo mostrado a seguir, F é um ponto do lado AB tal que DF é perpendicular à diagonal AC e a intersecta em E.
Se DE mede 4 cm, e AE mede 2 cm, qual será, em cm2, a área do quadrilátero BCEF, pintado?
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Resolução
1. Modelo geométrico
Coloque o retângulo em um sistema cartesiano:
- A = \((0,0)\)
- B = \((b,0)\)
- C = \((b,h)\)
- D = \((0,h)\)
A diagonal AC tem equação \(y = \dfrac{h}{b}x\).
O ponto E é o pé da perpendicular traçada por D à diagonal. Logo DE é perpendicular a AC e \(\angle DE\!C = 90^\circ\).
2. Coordenadas do ponto E (projeção ortogonal)
Seja \(\vec d = (b,h)\) o vetor diretor de AC. O parâmetro
\[t = \dfrac{\vec{AD}\cdot\vec d}{\|\vec d\|^2} = \dfrac{h^2}{b^2+h^2}\] dá o ponto E na forma \[E = t\,(b,h)=\left(\dfrac{bh^2}{b^2+h^2},\;\dfrac{h^3}{b^2+h^2}\right).\]3. Equações impostas pelos dados
Os comprimentos fornecidos são:
\[AE = 2\qquad \text{e} \qquad DE = 4.\]Como \(E = t\vec d\), temos
\[AE^2 = t^2\|\vec d\|^2 = \frac{h^4}{b^2+h^2}=4 \quad (1)\] e, pela fórmula da distância ponto–reta (ou diretamente por Pitágoras), \[DE^2 = h^2 - \frac{(h^2)^2}{b^2+h^2}=\frac{h^2b^2}{b^2+h^2}=16 \quad (2).\]Seja \(S=b^2+h^2\). Do (1): \(S=\dfrac{h^4}{4}\).
Substituindo em (2):
\[16\,S = h^2(S-h^2)\;\Longrightarrow\;16\,\dfrac{h^4}{4}=h^2\left(\dfrac{h^4}{4}-h^2\right)\; \Longrightarrow\;20h^4=h^6\;\Longrightarrow\;h^2=20.\] \[\therefore h = 2\sqrt5\;\text{e}\;b^2= S-h^2 =100-20 =80\;\Rightarrow\;b=4\sqrt5.\]4. Área do triângulo ABC
\[A_{\triangle ABC}=\tfrac12\,b\,h = \tfrac12\,(4\sqrt5)(2\sqrt5)=\tfrac12\,(8\cdot5)=20\;\text{cm}^2.\]5. Área do triângulo AEF
Precisamos de AF e da altura \(y_E\).
O coeficiente angular da diagonal é \(\dfrac{h}{b}=\tfrac12\). O declive da perpendicular é \(-\dfrac{b}{h}=-2\). Portanto a reta DF, que passa por D, encontra AB em
\[F=(f,0),\;f=\frac{h^2}{b}=\frac{20}{4\sqrt5}=\sqrt5.\]Como \(t=\dfrac{h^2}{b^2+h^2}=0{,}2\),
\[E=(0{,}8\sqrt5,0{,}4\sqrt5).\]Logo
\[A_{\triangle AEF}=\tfrac12\,AF\cdot y_E = \tfrac12\,(\sqrt5)\,(0{,}4\sqrt5)=\tfrac12\,(0{,}4\cdot5)=1\;\text{cm}^2.\]6. Área do quadrilátero BCEF
Note que \(\triangle ABC = (\text{BCEF}) \cup (\triangle AEF)\). Assim,
\[A_{\text{BCEF}} = A_{\triangle ABC} - A_{\triangle AEF}=20-1=\boxed{19\;\text{cm}^2}.\]Dicas
Erros Comuns
- Projeção ortogonal: o pé da perpendicular de um ponto a uma reta minimiza a distância entre eles; pode ser obtido por produto escalar.
- Retângulo em coordenadas: atribuir coordenadas simples (A na origem, lados sobre os eixos) facilita usar álgebra para distâncias e áreas.
- Área de triângulo: \(A=\tfrac12\,\text{base}\times\text{altura}\) ou via decomposição de figuras.
- Relação entre retas perpendiculares: se a diagonal tem inclinação \(\dfrac{h}{b}\), a perpendicular tem inclinação \(-\dfrac{b}{h}\).
