UECE 2015
No quadrado MNPQ, R é o ponto médio do lado PQ, S é um ponto do segmento NR tal que os segmentos MS e NR são perpendiculares. Se a medida do segmento MS é 3 cm, então a medida do lado do quadrado é
\(\sqrt{5}\) cm.
1,5 \(\sqrt{5}\) cm.
2,0 \(\sqrt{5}\) cm.
2,5 \(\sqrt{5}\) cm.
Resolução
Seja o lado do quadrado igual a \(a\) centímetros.
Adotemos um sistema de coordenadas para facilitar os cálculos:
- \(M\,(0,0)\)
- \(N\,(a,0)\)
- \(P\,(a,a)\)
- \(Q\,(0,a)\)
O ponto R é o ponto médio de \(PQ\):
\[R\left(\,\tfrac{a}{2},\,a\right).\]
Assim, o segmento \(NR\) é a reta que liga \(N\,(a,0)\) a \(R\,(\tfrac{a}{2},a)\).
1. Vetor diretor de \(\overline{NR}\)
\[\vec{d}=\big(\tfrac{a}{2}-a,\,a-0\big)=\big(-\tfrac{a}{2},\,a\big).\]
2. Distância de \(M\) à reta \(NR\)
A distância de um ponto \(P_0\) a uma reta que passa por \(P_1\) e tem vetor diretor \(\vec{d}\) é dada por
\[d=\dfrac{\lVert\,(P_0P_1)\times\vec d\,\rVert}{\lVert\vec d\rVert}.\]
Aqui, \((P_0P_1) = \overrightarrow{NM}=(-a,0)\).
Produto vetorial (módulo em 2D):
\[\lVert (-a,0)\times(-\tfrac{a}{2},a)\rVert = \big|(-a)\cdot a - 0\cdot(-\tfrac{a}{2})\big| = a^{2}.\]
Norma de \(\vec d\):
\[\lVert\vec d\rVert = \sqrt{\left(-\tfrac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}} = a\,\sqrt{\tfrac54}=\tfrac{a\sqrt5}{2}.\]
Portanto, a distância \(d_{(M,NR)}\) é
\[d = \dfrac{a^{2}}{\tfrac{a\sqrt5}{2}} = \dfrac{2a}{\sqrt5}.\]
3. Igualando à medida dada
Sabemos que \(d = MS = 3\;\text{cm}\). Logo,
\[\dfrac{2a}{\sqrt5}=3 \quad\Longrightarrow\quad a = \dfrac{3\sqrt5}{2} = 1{,}5\,\sqrt5\;\text{cm}.\]
4. Conclusão
A medida do lado do quadrado é \(1,5\,\sqrt5\;\text{cm}\).
Dicas
Erros Comuns
- Ponto médio: divide um segmento em duas partes iguais.
- Distância ponto–reta: em plano cartesiano, pode ser obtida por área (produto vetorial) ou fórmula da reta.
- Produto vetorial em 2D: para vetores \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\), o módulo é \(|x_1y_2-x_2y_1|\).
- Quadrado: todos os lados iguais e ângulos retos; facilita a escolha de um sistema de coordenadas ortogonal.
