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FEMA Medicina 2021/2
No plano cartesiano o ponto B pertence à reta x = 3 e o ponto C pertence à reta x = 5. Essas duas retas, o eixo x e a reta BC determinam um trapézio de área 6, conforme mostra a figura.
Sabendo que a inclinação da reta BC é 2, sua equação é
a
4x – 2y – 3 = 0.
b
2x – y – 5 = 0.
c
2x – y – 3 = 0.
d
2x – y – 6 = 0.
e
4x – 2y – 5 = 0.
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Resposta
B
Tempo médio
17 min
Resolução
Solução passo a passo
- Modelo da reta BC
A inclinação (coeficiente angular) vale \(m = 2\). Escrevemos a equação na forma reduzida:
\[y = 2x + b\] - Coordenadas de B e C
• B está sobre \(x = 3\) ⇒ \(B(3, y_B)\)
• C está sobre \(x = 5\) ⇒ \(C(5, y_C)\)
Substituindo na equação da reta:
\[y_B = 2\cdot 3 + b = 6 + b\]
\[y_C = 2\cdot 5 + b = 10 + b\] - Verificação da inclinação
\[m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{(10+b)-(6+b)}{5-3}=\frac{4}{2}=2\]\nA condição de inclinação está satisfeita para qualquer \(b\). - Cálculo da área do trapézio
O trapézio é limitado por \(x = 3\), \(x = 5\), o eixo \(x\) (\(y = 0\)) e a reta BC.
Assim, sua área é a área sob a reta, entre \(x = 3\) e \(x = 5\):
\[\text{Área}=\int_{3}^{5}(2x+b)\,dx\]
Calculando:
\[\int (2x+b)\,dx = x^2+bx\]
\[\text{Área} = \left[x^2+bx\right]_{3}^{5} = (25+5b)-(9+3b)=16+2b\]
Dado que a área vale 6, temos
\[16+2b = 6 \;\;\Longrightarrow\;\; 2b = -10 \;\;\Longrightarrow\;\; b = -5\]
Logo, a equação da reta é
\[y = 2x - 5\]
Colocando na forma geral: \(2x - y - 5 = 0\).
Alternativa correta: B.
Dicas
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Escreva a reta na forma y = 2x + b: só falta descobrir b.
A área do trapézio entre x=3 e x=5 é a integral da reta até o eixo x e vale 6.
Resolva 16 + 2b = 6 para encontrar b.
Erros Comuns
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Assumir que qualquer reta com inclinação 2 serve, sem verificar a área.
Usar a distância vertical entre B e C como sendo 6 diretamente, esquecendo que a largura do trapézio é 2.
Confundir área de trapézio com área de triângulo ou não considerar o eixo x como base.
Revisão
- Equação da reta: Forma reduzida \(y = mx + b\), onde \(m\) é o coeficiente angular (inclinação) e \(b\) o intercepto no eixo \(y\).
- Área de um trapézio: \(A = (B_1 + B_2)\,h/2\), com \(B_1,B_2\) lados paralelos e \(h\) distância entre eles. No plano cartesiano, também pode ser obtida pela integral da função que limita a região.
- Integral definida: A área sob a curva \(y = f(x)\) entre \(a\) e \(b\) é \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\).
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