FGV-SP Administração 2018/2
No plano cartesiano, dados os pontos A(1, 4) e B(-3, 2), a mediatriz do segmento AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares em um ponto cuja soma das coordenadas é:
\(\frac{4}{5}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{5}{6}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{3}{4}\)
Resolução
Seja \(A(1,4)\) e \(B(-3,2)\).
1. Ponto médio de \( \overline{AB} \)
\[ M = \left(\frac{1+(-3)}{2},\; \frac{4+2}{2}\right)=(-1,3) \]
2. Declividade de \(AB\)
\[ m_{AB}=\frac{4-2}{1-(-3)}=\frac{2}{4}=\frac12 \]
3. Equação da mediatriz de \( \overline{AB} \)
A mediatriz é perpendicular a \(AB\), logo
\[ m_{\text{med}}=-\frac{1}{m_{AB}}=-2 \]
Passando por \(M(-1,3)\): \(y-3=-2\,(x+1)\) → \(y=-2x+1\).
4. Bissetriz dos quadrantes ímpares
Os quadrantes ímpares são I e III; sua bissetriz é a reta \(y=x\).
5. Ponto de interseção
Solve o sistema:
\[ \begin{cases}y = x\\ y=-2x+1\end{cases} \Rightarrow x=-2x+1 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x=\frac13 \]
Portanto \(y=x=\frac13\).
6. Soma das coordenadas
\[ x+y = \frac13 + \frac13 = \frac23 \]
A alternativa correspondente é B.
Dicas
Erros Comuns
- Ponto médio: \(M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
- Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento.
- Coeficiente angular: se duas retas são perpendiculares, seus coeficientes satisfazem \(m_1m_2=-1\).
- Bissetrizes dos quadrantes: \(y=x\) (quadrantes I e III) e \(y=-x\) (quadrantes II e IV).
