INSPER Tarde 2014/1

Passo a Passo da Solução:

• Temos duas cidades representadas pelos pontos A(8, 2) e B(3, 6).
• Uma estrada existente representada pelo eixo x (reta y=0).
• Uma nova estrada representada pela reta r, com inclinação de 45°.
• A nova estrada r intercepta a estrada existente (eixo x) no ponto C. Como C está no eixo x, suas coordenadas são (c, 0) para algum valor c.
• A condição principal é que a distância da cidade A até a estrada r seja igual à distância da cidade B até a estrada r.

• A inclinação da reta r é 45°. O coeficiente angular (slope) da reta, m, é a tangente do ângulo de inclinação: \( m = \tan(45°) = 1 \).
• A reta r passa pelo ponto C(c, 0). Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, \( y - y_1 = m(x - x_1) \):
  \( y - 0 = 1(x - c) \)
  \( y = x - c \)
• Podemos reescrever a equação na forma geral \( ax + by + d = 0 \) para usar a fórmula da distância.
  \( x - y - c = 0 \). Aqui, a=1, b=-1, e o termo constante é -c.

• A fórmula da distância entre um ponto \( P(x_0, y_0) \) e uma reta \( ax + by + d = 0 \) é:
  \( D = \frac{|ax_0 + by_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
• Para a reta r: \( x - y - c = 0 \), temos a=1, b=-1, d=-c. O denominador é \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \).
• Calcular a distância de A(8, 2) até a reta r:
  \( d_A = \frac{|1 \cdot 8 + (-1) \cdot 2 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|8 - 2 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|6 - c|}{\sqrt{2}} \)
• Calcular a distância de B(3, 6) até a reta r:
  \( d_B = \frac{|1 \cdot 3 + (-1) \cdot 6 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 - 6 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|-3 - c|}{\sqrt{2}} \)
• Lembre-se que \( |-x| = |x| \), então \( |-3 - c| = |-(3 + c)| = |3 + c| \).
  \( d_B = \frac{|3 + c|}{\sqrt{2}} \)

• A condição do problema é \( d_A = d_B \):
  \( \frac{|6 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 + c|}{\sqrt{2}} \)
• Multiplicando ambos os lados por \( \sqrt{2} \), obtemos:
  \( |6 - c| = |3 + c| \)
• Esta equação com valor absoluto tem duas possíveis soluções:
  1. Os conteúdos dos módulos são iguais:
     \( 6 - c = 3 + c \)
     \( 6 - 3 = c + c \)
     \( 3 = 2c \)
     \( c = \frac{3}{2} \)
  2. O conteúdo de um módulo é o oposto do outro:
     \( 6 - c = -(3 + c) \)
     \( 6 - c = -3 - c \)
     \( 6 = -3 \) (Esta é uma contradição, então não há solução neste caso.)
• A única solução válida é \( c = \frac{3}{2} \).

• O ponto C tem coordenadas (c, 0). Como encontramos \( c = \frac{3}{2} \), as coordenadas de C são \( (\frac{3}{2}, 0) \).

• A alternativa que corresponde às coordenadas \( (\frac{3}{2}, 0) \) é a C.

Solução Final:

A equação da reta r com inclinação 45° (\(m = \tan(45°) = 1\)) que passa pelo ponto C(c, 0) no eixo x é \(y - 0 = 1(x - c)\), ou \(x - y - c = 0\). A distância de um ponto \(P(x_0, y_0)\) à reta \(ax + by + d = 0\) é \(D = \frac{|ax_0 + by_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\). Para a reta r, \(a=1, b=-1, d=-c\), então \(\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}\). A distância de A(8, 2) a r é \(d_A = \frac{|1(8) - 1(2) - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|6 - c|}{\sqrt{2}}\). A distância de B(3, 6) a r é \(d_B = \frac{|1(3) - 1(6) - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|-3 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 + c|}{\sqrt{2}}\). Igualando as distâncias \(d_A = d_B\): \(\frac{|6 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 + c|}{\sqrt{2}}\), o que simplifica para \(|6 - c| = |3 + c|\). Isso implica \(6 - c = 3 + c\) ou \(6 - c = -(3 + c)\). A primeira equação dá \(2c = 3\), ou \(c = 3/2\). A segunda equação dá \(6 - c = -3 - c\), ou \(6 = -3\), que é impossível. Portanto, \(c = 3/2\). As coordenadas de C são \((\frac{3}{2}, 0)\).