UPE 2021
No paralelogramo ABCD da figura, as medidas dos segmentos AB e BC são, respectivamente, \(4\) cm e \(6\) cm, e a medida do ângulo formado por esses segmentos é \(60^\circ.\)
Qual a medida, em cm, da diagonal AC? Use \(\sqrt{7}=2,65\)
\( 5,1 \)
\(5,3\)
\(5,6 \)
\(6,2 \)
\( 6,8\)
Resolução
Para determinar o comprimento da diagonal \(AC\) do paralelogramo, observe que os pontos \(A, B\) e \(C\) formam um triângulo.
\n1. Identifique o triângulo a ser usado
\nNo paralelogramo \(ABCD\), os lados adjacentes \(\overline{AB}\) e \(\overline{BC}\) são conhecidos e o ângulo interno em \(B\) mede \(60^\circ\). Assim, o triângulo \(\triangle ABC\) é definido por:
\n- \n
- \(AB = 4\,\text{cm}\) \n
- \(BC = 6\,\text{cm}\) \n
- \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) \n
2. Aplique a Lei dos Cossenos
\nA Lei dos Cossenos relaciona os lados de um triângulo qualquer ao cosseno do ângulo incluso:
\n \[ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\,AB\,BC\,\cos(\widehat{ABC}) \]Substituindo os valores:
\n \[ AC^{2}=4^{2}+6^{2}-2\cdot4\cdot6\cdot\cos60^{\circ} \]Sabendo que \(\cos60^{\circ}=\tfrac{1}{2}\):
\n \[ AC^{2}=16+36-2\cdot4\cdot6\cdot\tfrac12 \] \[ AC^{2}=52-24=28 \]3. Extraia a raiz quadrada
\n \[ AC=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt 7 \]4. Use a aproximação fornecida
\nO enunciado sugere usar \(\sqrt7\approx2{,}65\). Logo:
\n \[ AC\approx2\times2{,}65=5{,}30\,\text{cm} \]5. Conclusão
\nO valor mais próximo entre as alternativas é 5,3 cm, que corresponde à opção B.
\nDicas
Erros Comuns
- \n
- Paralelogramo: quadrilátero com lados opostos paralelos e congruentes. As diagonais se cruzam dividindo o figura em dois triângulos congruentes. \n
- Lei dos Cossenos: em qualquer triângulo com lados \(a,b,c\) e ângulo \(\gamma\) oposto ao lado \(c\), vale \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\). É útil quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles. \n
- Radiciação e aproximações: saber simplificar uma raiz quadrada (\(\sqrt{28}=2\sqrt7\)) e aplicar a aproximação numérica solicitada. \n
