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FAMERP 2017
No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real λ na equação det (M – λI) = 0, em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e det representa o determinante da matriz (M – λI).
Se, em um desses estudos, tem-se 
, o valor positivo de λ é igual a
a
5.
b
8.
c
9.
d
12.
e
6.
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Resposta
E
Resolução
\[M = \begin{bmatrix}0 & 17 & 2\\ 2 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\]
Para encontrar o(s) valor(es) real(is) \(\lambda\) tal que \(\det (M-\lambda I)=0\), calculamos a matriz
\[M-\lambda I = \begin{bmatrix}-\lambda & 17 & 2\\ 2 & -\lambda & 0\\ 1 & 0 & -\lambda\end{bmatrix}.\]
Determinante (regra de Sarrus ou co-fatores):
\[\det(M-\lambda I)= -\lambda\left|\begin{matrix}-\lambda & 0\\0 & -\lambda\end{matrix}\right|-17\left|\begin{matrix}2 & 0\\1 & -\lambda\end{matrix}\right|+2\left|\begin{matrix}2 & -\lambda\\1 & 0\end{matrix}\right|.\]
• 1º termo: \(-\lambda)\cdot((-\lambda)(-\lambda)-0)= -\lambda(\lambda^2)= -\lambda^3\)
• 2º termo: \(-17)[2(-\lambda)-0]= -17(-2\lambda)=34\lambda\)
• 3º termo: \(2)[2\cdot0-(-\lambda)\cdot1]=2(\lambda)=2\lambda\)
Somando: \[-\lambda^3+34\lambda+2\lambda=-\lambda^3+36\lambda.\]
Igualamos a zero: \[-\lambda^3+36\lambda=0 \;\Longrightarrow\; \lambda(-\lambda^2+36)=0.\]
Assim,
\[\lambda=0 \quad \text{ou} \quad \lambda^2=36 \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm6.\]
O valor positivo solicitado é \(\boxed{6}\).
Para encontrar o(s) valor(es) real(is) \(\lambda\) tal que \(\det (M-\lambda I)=0\), calculamos a matriz
\[M-\lambda I = \begin{bmatrix}-\lambda & 17 & 2\\ 2 & -\lambda & 0\\ 1 & 0 & -\lambda\end{bmatrix}.\]
Determinante (regra de Sarrus ou co-fatores):
\[\det(M-\lambda I)= -\lambda\left|\begin{matrix}-\lambda & 0\\0 & -\lambda\end{matrix}\right|-17\left|\begin{matrix}2 & 0\\1 & -\lambda\end{matrix}\right|+2\left|\begin{matrix}2 & -\lambda\\1 & 0\end{matrix}\right|.\]
• 1º termo: \(-\lambda)\cdot((-\lambda)(-\lambda)-0)= -\lambda(\lambda^2)= -\lambda^3\)
• 2º termo: \(-17)[2(-\lambda)-0]= -17(-2\lambda)=34\lambda\)
• 3º termo: \(2)[2\cdot0-(-\lambda)\cdot1]=2(\lambda)=2\lambda\)
Somando: \[-\lambda^3+34\lambda+2\lambda=-\lambda^3+36\lambda.\]
Igualamos a zero: \[-\lambda^3+36\lambda=0 \;\Longrightarrow\; \lambda(-\lambda^2+36)=0.\]
Assim,
\[\lambda=0 \quad \text{ou} \quad \lambda^2=36 \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm6.\]
O valor positivo solicitado é \(\boxed{6}\).
Dicas
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Escreva explicitamente M−λI antes de calcular o determinante.
Ao expandir o determinante, observe que muitos termos contêm zeros e simplificam.
Quando obtiver \(\lambda(36-\lambda^2)=0\), lembre-se de extrair apenas a raiz positiva solicitada.
Erros Comuns
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Esquecer o sinal negativo que acompanha o primeiro termo (−λ³).
Copiar errado um elemento da matriz ao formar M−λI.
Parar no fatoração \(\lambda(36-\lambda^2)=0\) mas tomar apenas \(\lambda=0\).
Calcular mal a raiz de 36, obtendo 5 ou 8.
Revisão
- Autovalor: número \(\lambda\) tal que existe um vetor não-nulo \(v\) com \(Mv=\lambda v\).
- Polinômio característico: \(p(\lambda)=\det(M-\lambda I)\). Suas raízes são os autovalores.
- Determinante 3×3: pode-se usar a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores.
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