FUVEST 2020

Passo a Passo da Solução

O problema pede para calcularmos o "tamanho do pixel" na imagem do buraco negro. O texto nos informa que esse tamanho é equivalente à menor distância entre dois objetos na galáxia M87 que podem ser identificados separadamente pelo telescópio EHT. Essa é a definição de resolução linear (ou espacial).

A relação entre a resolução linear (\(s\)), a resolução angular (\(\theta\)) e a distância (\(L\)) até o objeto é dada pela aproximação de pequenos ângulos:

\[ s = \theta \cdot L \]

Onde \(\theta\) deve estar em radianos.

1. Determinar a distância \(L\) e o diâmetro \(D\) do telescópio:

• A distância da Terra até a galáxia M87 é \(L = 5 \times 10^{20} \text{ km}\).
• O diâmetro efetivo do telescópio EHT é \(D = 12.700 \text{ km} = 1,27 \times 10^4 \text{ km}\).

2. Determinar a resolução angular (\(\theta\)) usando o gráfico:

O gráfico fornecido mostra a resolução angular (em radianos) em função do diâmetro efetivo do telescópio (em km). Ambos os eixos estão em escala logarítmica.

Podemos observar que a relação no gráfico é uma reta em escala log-log, o que indica uma lei de potência da forma \(\theta = k \cdot D^n\). Vamos determinar \(k\) e \(n\) a partir de pontos do gráfico:

• Quando \(D = 10^2 \text{ km}\), \(\theta = 10^{-8} \text{ rad}\).
• Quando \(D = 10^3 \text{ km}\), \(\theta = 10^{-9} \text{ rad}\).
• Quando \(D = 10^4 \text{ km}\), \(\theta = 10^{-10} \text{ rad}\).

Percebe-se que quando \(D\) aumenta por um fator de 10, \(\theta\) diminui por um fator de 10. Isso significa que \(\theta\) é inversamente proporcional a \(D\), ou seja, \(n = -1\). Assim, \(\theta = k/D\).

Usando o ponto \(D = 10^4 \text{ km}\) e \(\theta = 10^{-10} \text{ rad}\):

\[ 10^{-10} = \frac{k}{10^4} \implies k = 10^{-10} \cdot 10^4 = 10^{-6} \text{ km} \cdot \text{rad} \]

Então, a relação é \(\theta = \frac{10^{-6}}{D}\), onde \(D\) está em km e \(\theta\) em radianos.

Agora, calculamos \(\theta\) para o EHT, com \(D = 1,27 \times 10^4 \text{ km}\):

\[ \theta = \frac{10^{-6}}{1,27 imes 10^4} = \frac{1}{1,27} imes 10^{-6-4} = \frac{1}{1,27} imes 10^{-10} \text{ rad} \]

Calculando \(1/1,27\):

\[ \frac{1}{1,27} \approx 0,7874 \]

Portanto, \(\theta \approx 0,7874 \times 10^{-10} \text{ rad}\).

Alternativa de leitura do gráfico (aproximada): Note que \(D = 1,27 \times 10^4 \text{ km}\) é próximo de \(10^4 \text{ km}\). Para \(D = 10^4 \text{ km}\), o gráfico mostra \(\theta = 10^{-10} \text{ rad}\). Como \(1,27 \times 10^4 \text{ km}\) é um pouco maior que \(10^4 \text{ km}\), e a relação é inversa, \(\theta\) será um pouco menor que \(10^{-10} \text{ rad}\), o que é consistente com \(0,7874 \times 10^{-10} \text{ rad}\).

3. Calcular o tamanho do pixel (\(s\)):

Usamos a fórmula \(s = \theta \cdot L\):

\[ s = (0,7874 \times 10^{-10} \text{ rad}) \times (5 \times 10^{20} \text{ km}) \] \[ s = (0,7874 \times 5) \times (10^{-10} \times 10^{20}) \text{ km} \] \[ s = 3,937 \times 10^{10} \text{ km} \]

4. Comparar com as opções:

O valor calculado é \(3,937 \times 10^{10} \text{ km}\). Vamos comparar com as opções fornecidas:

• A) \(5 \times 10^1 \text{ km}\)
• B) \(5 \times 10^4 \text{ km}\)
• C) \(5 \times 10^7 \text{ km}\)
• D) \(5 \times 10^{10} \text{ km}\)
• E) \(5 \times 10^{13} \text{ km}\)

O valor \(3,937 \times 10^{10} \text{ km}\) é mais próximo de \(5 \times 10^{10} \text{ km}\).

Se tivéssemos usado a aproximação \(\theta \approx 10^{-10} \text{ rad}\) (baseado em \(D \approx 10^4 \text{ km}\)):

\[ s \approx (10^{-10} \text{ rad}) \times (5 \times 10^{20} \text{ km}) = 5 \times 10^{10} \text{ km} \]

Este valor corresponde exatamente à opção D.

Resposta Correta: D