ENEM 2019 segunda aplicação
No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram:
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado.
Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a
4.
7.
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10.
Resolução
Passo a passo da solução:
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Identificar o tipo de função: O enunciado informa que a quantidade Q é uma função quadrática do tempo t. A forma geral de uma função quadrática é \( Q(t) = at^2 + bt + c \), onde a, b e c são constantes a serem determinadas.
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Utilizar os dados da tabela: A tabela fornece três pontos (t, Q) que pertencem à função: (0, 1), (1, 4) e (2, 6). Vamos usar esses pontos para montar um sistema de equações.
- Para t = 0, Q = 1: \( Q(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1 \) \( \Rightarrow c = 1 \).
- Agora sabemos que \( Q(t) = at^2 + bt + 1 \).
- Para t = 1, Q = 4: \( Q(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = 4 \) \( \Rightarrow a + b + 1 = 4 \) \( \Rightarrow a + b = 3 \) (Equação I).
- Para t = 2, Q = 6: \( Q(2) = a(2)^2 + b(2) + 1 = 6 \) \( \Rightarrow 4a + 2b + 1 = 6 \) \( \Rightarrow 4a + 2b = 5 \) (Equação II).
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Resolver o sistema de equações: Temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (a e b):
\[ \begin{cases} a + b = 3 \\ 4a + 2b = 5 \end{cases} \]Podemos isolar b na Equação I: \( b = 3 - a \).
Substituir b na Equação II:
\( 4a + 2(3 - a) = 5 \) \( 4a + 6 - 2a = 5 \) \( 2a = 5 - 6 \) \( 2a = -1 \) \( a = -\frac{1}{2} \)Agora, encontrar b usando \( b = 3 - a \):
\( b = 3 - (-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \) -
Escrever a função quadrática completa: Com \( a = -1/2 \), \( b = 7/2 \) e \( c = 1 \), a função é:
\[ Q(t) = -\frac{1}{2}t^2 + \frac{7}{2}t + 1 \] -
Calcular a quantidade no tempo desejado: O problema pede a quantidade da substância após uma hora do último dado coletado. O último dado foi coletado em t = 2 horas. Portanto, queremos calcular Q para t = 2 + 1 = 3 horas.
\( Q(3) = -\frac{1}{2}(3)^2 + \frac{7}{2}(3) + 1 \) \( Q(3) = -\frac{1}{2}(9) + \frac{21}{2} + 1 \) \( Q(3) = -\frac{9}{2} + \frac{21}{2} + \frac{2}{2} \) \( Q(3) = \frac{-9 + 21 + 2}{2} \) \( Q(3) = \frac{12 + 2}{2} \) \( Q(3) = \frac{14}{2} \) \( Q(3) = 7 \)
Método Alternativo (Diferenças Finitas):
Para uma função quadrática, as segundas diferenças são constantes. Vamos calcular as diferenças entre os valores de Q:
| t | Q(t) | 1ª Diferença (ΔQ) | 2ª Diferença (Δ²Q) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||
| 1 | 4 | \(4-1=3\) | |
| 2 | 6 | \(6-4=2\) | \(2-3=-1\) |
| 3 | ? | \(x\) | \(x-2 = -1 \Rightarrow x = 1\) |
A segunda diferença é constante e igual a -1. A primeira diferença entre t=2 e t=3 deve ser tal que, subtraindo a primeira diferença anterior (2), resulte em -1. Logo, a primeira diferença é 1.
Isso significa que \( Q(3) - Q(2) = 1 \).
Como \( Q(2) = 6 \), temos \( Q(3) - 6 = 1 \), o que nos dá \( Q(3) = 7 \).
A quantidade da substância em t = 3 horas será de 7 miligramas.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
- Função Quadrática: Uma função do tipo \( f(x) = ax^2 + bx + c \), onde a, b e c são constantes e \( a \neq 0 \). Seu gráfico é uma parábola. Para determinar a equação de uma função quadrática, são necessários três pontos não colineares por onde a parábola passa.
- Sistemas de Equações Lineares: Um conjunto de duas ou more equações lineares com as mesmas variáveis. Métodos comuns de resolução incluem substituição e adição (ou eliminação). Neste caso, usamos os pontos dados para criar um sistema e encontrar os coeficientes a, b e c da função quadrática.
- Interpretação de Tabelas e Gráficos: Habilidade de extrair informações de dados apresentados em formato de tabela, como os pares (tempo, quantidade) fornecidos na questão.
- Extrapolação: Usar um modelo matemático (neste caso, a função quadrática encontrada) para prever valores fora do intervalo original de dados. Aqui, prevemos Q(3) com base nos dados de t=0, 1 e 2.
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
