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UnP 2013/1
No conjunto M das matrizes n x m (com n ≠ m), considere as seguintes afirmações:
I – Se A é uma matriz de M, sempre estará definido o produto A.A.
II – Se A é uma matriz de M, a sua transposta não o será.
III – A soma de duas matrizes de M pode não pertencer a M.
I – Se A é uma matriz de M, sempre estará definido o produto A.A.
II – Se A é uma matriz de M, a sua transposta não o será.
III – A soma de duas matrizes de M pode não pertencer a M.
a
Somente II é verdadeira
b
Somente I é falsa
c
Todas são falsas
d
Somente I e II são verdadeiras
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Resposta
A
Tempo médio
1 min
Resolução
Para o conjunto M formado por todas as matrizes de ordem fixa \(n\times m\) com \(n\neq m\), analisemos cada afirmação:
I – "Se A ∈ M, sempre estará definido o produto A·A"
Para que o produto \(A\cdot A\) esteja definido, o número de colunas de \(A\) (que é \(m\)) deve ser igual ao número de linhas de \(A\) (que é \(n\)). Mas, por hipótese, \(n\neq m\). Logo, a igualdade necessária não se verifica e o produto, em geral, não está definido. Portanto, a afirmação I é falsa.
II – "Se A ∈ M, a sua transposta não pertence a M"
A transposta de \(A\), denotada \(A^{\text{T}}\), possui ordem \(m\times n\). Como M contém exclusivamente matrizes \(n\times m\), a matriz \(A^{\text{T}}\) não tem a dimensão exigida para pertencer a M. Assim, II é verdadeira.
III – "A soma de duas matrizes de M pode não pertencer a M"
Duas matrizes só podem ser somadas se tiverem exatamente a mesma ordem. Como todas as matrizes de M têm ordem \(n\times m\), a soma de quaisquer duas matrizes de M será outra matriz \(n\times m\), portanto ainda em M. Logo, III é falsa.
Conclusão: apenas a afirmação II é verdadeira. A alternativa correta é a A.
I – "Se A ∈ M, sempre estará definido o produto A·A"
Para que o produto \(A\cdot A\) esteja definido, o número de colunas de \(A\) (que é \(m\)) deve ser igual ao número de linhas de \(A\) (que é \(n\)). Mas, por hipótese, \(n\neq m\). Logo, a igualdade necessária não se verifica e o produto, em geral, não está definido. Portanto, a afirmação I é falsa.
II – "Se A ∈ M, a sua transposta não pertence a M"
A transposta de \(A\), denotada \(A^{\text{T}}\), possui ordem \(m\times n\). Como M contém exclusivamente matrizes \(n\times m\), a matriz \(A^{\text{T}}\) não tem a dimensão exigida para pertencer a M. Assim, II é verdadeira.
III – "A soma de duas matrizes de M pode não pertencer a M"
Duas matrizes só podem ser somadas se tiverem exatamente a mesma ordem. Como todas as matrizes de M têm ordem \(n\times m\), a soma de quaisquer duas matrizes de M será outra matriz \(n\times m\), portanto ainda em M. Logo, III é falsa.
Conclusão: apenas a afirmação II é verdadeira. A alternativa correta é a A.
Dicas
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Lembre-se de que, para multiplicar A por A, o número de colunas deve coincidir com o número de linhas.
A transposta troca linhas por colunas: sua ordem inverte-se.
Se duas matrizes são da mesma ordem, suas soma também terá exatamente essa ordem.
Erros Comuns
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Achar que a transposta continua no conjunto por também ser "retangular", esquecendo que a ordem específica mudou.
Supor que a soma possa sair de M porque acreditam que n+m ou n−m mudariam a ordem da matriz resultante.
Não checar a condição de multiplicação e concluir que A·A é sempre possível.
Revisão
- Multiplicação de matrizes: O produto \(A_{p\times q}\cdot B_{q\times r}\) só é definido se o n.º de colunas de \(A\) (\(q\)) coincidir com o n.º de linhas de \(B\) (\(q\)). O resultado tem dimensão \(p\times r\).
- Transposta: A transposta de uma matriz \(A_{n\times m}\) é \(A^{\text{T}}_{m\times n}\), obtida trocando linhas por colunas.
- Soma de matrizes: Só possível entre matrizes da mesma ordem; o resultado preserva essa ordem.
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