EsPCEx 2002
Na tabela abaixo, em que os números das linhas 1 e 2 encontram-se em progressão aritmética, seja n o número da coluna em que pela primeira vez o número bn da linha 2 é maior que o an da linha 1
A soma dos algarismos de n é
13
12
11
10
9
Resolução
Queremos o primeiro índice \(n\) tal que o termo da 2ª linha ultrapasse o termo da 1ª linha.
1. Identificando as PAs
- 1ª linha: \(1000,\,1004,\,1008,\,1012,\,\dots\)
• termo inicial \(a_1 = 1000\)
• razão \(r_1 = 4\) - 2ª linha: \(20,\,27,\,34,\,41,\,\dots\)
• termo inicial \(b_1 = 20\)
• razão \(r_2 = 7\)
2. Fórmulas dos termos gerais
Para a 1ª linha:
\[a_n = a_1 + (n-1) r_1 = 1000 + (n-1)\,4 = 4n + 996.\]
Para a 2ª linha:
\[b_n = b_1 + (n-1) r_2 = 20 + (n-1)\,7 = 7n + 13.\]
3. Encontrando o primeiro \(n\) com \(b_n > a_n\)
Precisamos da menor solução inteira de
\[7n + 13 > 4n + 996.\]
Isolando \(n\):
- \(7n - 4n > 996 - 13 \Rightarrow 3n > 983\)
- \(n > \dfrac{983}{3} \approx 327{,}67\)
Como \(n\) é inteiro e índice de coluna, tomamos o próximo inteiro:
\(\boxed{n = 328}\)
4. Soma dos algarismos de \(n\)
\(328\): \(3 + 2 + 8 = 13\).
Resposta: 13.
Dicas
Erros Comuns
- Progressão aritmética (PA): sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Termo geral: \(a_n = a_1 + (n-1)r\).
- Inequação do 1º grau: basta isolar a incógnita aplicando as propriedades das desigualdades.
- Soma dos algarismos: adição simples das casas decimais de um número.
