OBMEP 2011
Na figura, os dois semicírculos são tangentes e o lado do quadrado mede 36 cm. Qual é o raio do semicírculo menor?
8 cm
9 cm
10 cm
11 cm
12 cm
Resolução
Seja o quadrado de lado 36 cm. Coloque um sistema de coordenadas com a origem no canto inferior esquerdo.
1. Semicírculo maior
O diâmetro coincide com o lado inferior do quadrado, indo de \((0,0)\) a \((36,0)\).
Centro: \((18,0)\).
Raio: \(R=18\).
2. Semicírculo menor
Seu diâmetro é vertical sobre o lado esquerdo. Seja \(r\) seu raio. Então seus extremos são
\((0,36)\) e \((0,36-2r)\), logo o centro está em \((0,36-r)\).
3. Condição de tangência entre os dois círculos
Os círculos completo (não apenas os semicírculos) são tangentes externamente, portanto a distância entre os centros é igual à soma dos raios:
\[\sqrt{\,(18-0)^2\; +\;(0\; -\;(36-r))^2\,}=R+r\]
Substituindo \(R=18\):
\[\sqrt{18^2 + (36-r)^2}=18+r\]
Elevando ao quadrado:
\[18^2 + (36-r)^2 = (18+r)^2\]
\[324 + (1296 - 72r + r^2) = 324 + 36r + r^2\]
Cancelando \(r^2\) e \(324\):
\[1296 - 72r = 36r\;\;\Longrightarrow\;\;108r = 1296\]
\[r = \frac{1296}{108}=12\]
4. Verificação
O centro do semicírculo menor fica em \((0,24)\). Ele está dentro do quadrado e a tangência ocorre em um ponto interno, confirmando a configuração.
Raio solicitado: \(\boxed{12\text{ cm}}\).
Dicas
Erros Comuns
- Semicírculo: é metade de um círculo de raio \(r\) cujo diâmetro é um segmento de extremos colineares.
- Condição de tangência externa: dois círculos de raios \(r_1\) e \(r_2\) são externamente tangentes se a distância entre seus centros é \(r_1+r_2\).
- Uso de coordenadas: colocar a figura num eixo cartesiano facilita escrever distâncias por meio da fórmula da distância.
