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IMEPAC Medicina 2014/1
Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A. O segmentos AB e BC medem, respectivamente 5 cm e 13 cm.
Considere o cone reto gerado pela rotação do triângulo ABC em torno do cateto AB. A medida do volume do cone obtido da forma descrita é igual a
a
240π cm3.
b
100π cm3.
c
300π cm3.
d
720π cm3.
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
\[ \text{Dados:}\; AB=5\,\text{cm (cateto e eixo do cone)},\; BC=13\,\text{cm (hipotenusa)} \]
Pelo teorema de Pitágoras, calcula‑se o outro cateto:
\[ AC^2+AB^2=BC^2\Longrightarrow AC^2=13^2-5^2=169-25=144\Longrightarrow AC=12\,\text{cm}. \]
Quando o triângulo gira em torno de \(AB\):
• \(AB\) torna-se a altura \(h\) do cone (eixo de rotação).
• O ponto \(C\) descreve um círculo cujo raio é a distância de \(C\) à reta \(AB\). Como \(AB\perp AC\), essa distância é justamente \(AC=12\,\text{cm}.\)
Logo:
\[ h=5\,\text{cm},\quad r=12\,\text{cm}. \]
Volume de um cone: \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h\).
\[ V=\frac13\pi(12)^2(5)=\frac13\pi(144)(5)=\frac{720}{3}\pi=240\pi\,\text{cm}^3. \]
Resposta: A.
Pelo teorema de Pitágoras, calcula‑se o outro cateto:
\[ AC^2+AB^2=BC^2\Longrightarrow AC^2=13^2-5^2=169-25=144\Longrightarrow AC=12\,\text{cm}. \]
Quando o triângulo gira em torno de \(AB\):
• \(AB\) torna-se a altura \(h\) do cone (eixo de rotação).
• O ponto \(C\) descreve um círculo cujo raio é a distância de \(C\) à reta \(AB\). Como \(AB\perp AC\), essa distância é justamente \(AC=12\,\text{cm}.\)
Logo:
\[ h=5\,\text{cm},\quad r=12\,\text{cm}. \]
Volume de um cone: \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h\).
\[ V=\frac13\pi(12)^2(5)=\frac13\pi(144)(5)=\frac{720}{3}\pi=240\pi\,\text{cm}^3. \]
Resposta: A.
Dicas
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Desenhe o triângulo e destaque o cateto em torno do qual ele gira.
Qual é a distância do vértice que não está sobre o eixo até esse eixo? Esse será o raio.
Com raio e altura em mãos, aplique \(V=\tfrac13\pi r^2 h\).
Erros Comuns
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Tomar o cateto errado como raio, trocando os papéis de 5 cm e 12 cm.
Usar a hipotenusa como raio.
Esquecer o fator \(\tfrac13\) da fórmula do volume do cone.
Não aplicar Pitágoras antes de girar a figura.
Revisão
- Sólido de revolução: girar uma figura plana em torno de um eixo gera um sólido cujo eixo coincide com a reta de rotação.
- Cone reto: gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um cateto. O cateto usado é a altura, e o outro cateto é o raio da base.
- Volume do cone: \(V=\frac13\pi r^{2}h\).
- Teorema de Pitágoras: em triângulo retângulo, \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) (\(c\) é a hipotenusa).
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