FACISB 2018
Na figura, o arco de circunferência \(\widehat {QR}\) está centrado em P e possui o mesmo comprimento que o segmento de reta \(\overline{QS},\) cuja reta suporte é tangente, em Q, à circunferência que contém o referido arco.
Sendo AQR a área do setor circular de centro P e arco \(\widehat{QR},\) e sendo APQS a área do triângulo PQS, é correto afirmar que a diferença AQR – APQS, na unidade de medida de comprimento dos dados, é igual a
\(\frac{\pi}{2}\)
\(-\pi\)
\(-\frac{\pi}{2}\)
\(\pi\)
\(0\)
Resolução
Resolução passo a passo
Considere o ponto P como origem de um sistema cartesiano.
- A reta PQ é horizontal. Seja Q(a,0). Assim, PQ = a.
- A reta QS é vertical (tangente ao círculo em Q). Seja S(a, h). Logo, QS = h.
- O arco \(\widehat{QR}\) pertence ao círculo de centro P e raio \(r = a\).
- Se \(\theta\) é a medida angular (em radianos) do arco \(\widehat{QR}\), então: \[\text{comprimento do arco} = s = r\theta = a\theta.\]
- O enunciado informa que o comprimento do arco é igual ao comprimento de QS: \[QS = s \;\Longrightarrow\; h = a\theta.\]
1. Área do setor circular \(A_{QR}\)
Para um setor de raio \(r\) e ângulo \(\theta\) (em radianos): \[A_{QR} = \frac{1}{2} r^2\theta.\]
Como \(r = a\), temos: \[A_{QR} = \tfrac12 a^2\theta.\]
2. Área do triângulo PQS \(A_{PQS}\)
Trata‑se de um triângulo retângulo com catetos \(PQ = a\) e \(QS = h = a\theta\). Assim:
\[A_{PQS} = \frac{1}{2}\,(PQ)\,(QS) = \frac{1}{2}\,a\,(a\theta) = \tfrac12 a^2\theta.\]3. Diferença das áreas
\[A_{QR} - A_{PQS} = \tfrac12 a^2\theta - \tfrac12 a^2\theta = 0.\]Portanto, a diferença entre as áreas é zero.
Resposta
Alternativa E) 0.
Dicas
Erros Comuns
- Setor circular: região limitada por dois raios e pelo arco entre eles. Área: \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) (\(\theta\) em rad).
- Arco de circunferência: comprimento \(s = r\theta\).
- Triângulo retângulo: se os catetos medem b e h, área \(A = \tfrac12 b h\).
- Tangente à circunferência: o raio ao ponto de tangência é perpendicular à tangente.
