O objetivo é encontrar a equação da reta , que é tangente às duas circunferências e . A equação da reta é da forma , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).
1. Identificar os centros e raios das circunferências:
- Circunferência : Raio . Pela figura, seu centro está na origem. Logo, .
- Circunferência : Raio . As circunferências são tangentes externamente e seus centros estão sobre o eixo x. A distância entre os centros é a soma dos raios: . Como e está no eixo x, suas coordenadas são .
2. Determinar o coeficiente angular (m) da reta t:
Podemos usar uma construção geométrica. Trace os raios e , que são perpendiculares à reta tangente . Considere o triângulo retângulo formado traçando uma linha por paralela à reta e uma linha por perpendicular a essa paralela (ou, equivalentemente, traçando uma linha por paralela ao eixo x - que é o próprio eixo x - e uma linha por também paralela ao eixo x, e depois considerando o segmento e uma linha por paralela a ).
Uma abordagem mais clara: desenhe o segmento no eixo x. Desenhe os raios e perpendiculares a . Desenhe um segmento por paralelo ao eixo x (o próprio eixo x) e um segmento por paralelo a . Não, isso não ajuda.
Construção correta: Trace uma linha por paralela à reta . Trace o raio . O ponto nesta linha paralela é tal que é perpendicular a ela. Considere o triângulo . Este triângulo é retângulo em .
- A hipotenusa é a distância entre os centros: .
- O cateto tem comprimento igual à diferença dos raios: .
- Seja o ângulo . Este é o ângulo entre o segmento (eixo x) e a linha (paralela a ).
- No triângulo , temos .
- Portanto, .
A linha é paralela à reta . O ângulo é o ângulo entre o eixo x (segmento ) e a linha . Como a reta está acima dos centros e tem inclinação negativa (observando a figura), o ângulo de inclinação da reta com o eixo x positivo é .
O coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação:
3. Determinar o coeficiente linear (b):
A equação da reta é . Podemos reescrevê-la na forma geral para usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Multiplicando por 3 para eliminar o denominador:
A distância do centro a esta reta deve ser igual ao raio .
Fórmula da distância:
Sabemos que :
Pela figura, a reta intercepta o eixo y em um valor positivo, então . Logo, .
4. Equação da reta t:
Substituindo e na equação , obtemos:
5. Verificação e Análise das Alternativas:
A equação que encontramos, , não corresponde exatamente a nenhuma das alternativas. A alternativa B tem o mesmo coeficiente angular (), mas um coeficiente linear diferente ().
Vamos verificar se a alternativa B, , satisfaz as condições de tangência.
- Forma geral: .
- Distância de : . Isso deveria ser .
- Distância de : . Isso deveria ser .
Como as distâncias não correspondem aos raios, a alternativa B está incorreta, apesar de ser indicada como a resposta correta. Há uma inconsistência na questão (dados vs. opções).
Conclusão da Análise: Com base nos dados fornecidos na figura e no texto (R1=3, R2=1, O1=(0,0), O2=(4,0)), a equação correta da reta tangente é . Nenhuma das opções fornecidas está correta. No entanto, como uma resposta deve ser escolhida e a opção B possui o coeficiente angular correto derivado da geometria do problema, ela é a mais provável de ser a resposta pretendida, assumindo um erro no coeficiente linear da opção ou nos dados do problema.
Assumindo que a questão do ENEM tem a alternativa B como gabarito, reconhecemos a inconsistência matemática. A explicação detalhada acima demonstra o processo correto de resolução que leva a um resultado diferente das opções.