ENEM 2016 terceira aplicação

Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: $C_{1}$ (de raio 3 e centro $O_{1}$ ) e $C_{2}$ (de raio 1 e centro $O_{2}$ ), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q.

Nessas condições, a equação da reta t é

Equação da reta:

y = - \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3}

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 3 \sqrt{3}$

$y = - x + 4$

$y = - \frac{2}{3} + x 4$

$y = - \frac{4}{5} x + 4$

Ver resposta

Resposta

Tempo médio

1 min

Resolução

O objetivo é encontrar a equação da reta $t$ , que é tangente às duas circunferências $C_{1}$ e $C_{2}$ . A equação da reta é da forma $y = m x + b$ , onde $m$ é o coeficiente angular (inclinação) e $b$ é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).

1. Identificar os centros e raios das circunferências:

Circunferência $C_{1}$ : Raio $R_{1} = 3$ . Pela figura, seu centro $O_{1}$ está na origem. Logo, $O_{1} = (0, 0)$ .
Circunferência $C_{2}$ : Raio $R_{2} = 1$ . As circunferências são tangentes externamente e seus centros estão sobre o eixo x. A distância entre os centros é a soma dos raios: $d (O_{1}, O_{2}) = R_{1} + R_{2} = 3 + 1 = 4$ . Como $O_{1} = (0, 0)$ e $O_{2}$ está no eixo x, suas coordenadas são $O_{2} = (4, 0)$ .

2. Determinar o coeficiente angular (m) da reta t:

Podemos usar uma construção geométrica. Trace os raios $O_{1} P$ e $O_{2} Q$ , que são perpendiculares à reta tangente $t$ . Considere o triângulo retângulo formado traçando uma linha por $O_{2}$ paralela à reta $t$ e uma linha por $O_{1}$ perpendicular a essa paralela (ou, equivalentemente, traçando uma linha por $O_{2}$ paralela ao eixo x - que é o próprio eixo x - e uma linha por $O_{1}$ também paralela ao eixo x, e depois considerando o segmento $O_{1} O_{2}$ e uma linha por $O_{2}$ paralela a $t$ ).

Uma abordagem mais clara: desenhe o segmento $O_{1} O_{2}$ no eixo x. Desenhe os raios $O_{1} P$ e $O_{2} Q$ perpendiculares a $t$ . Desenhe um segmento por $O_{2}$ paralelo ao eixo x (o próprio eixo x) e um segmento por $O_{1}$ paralelo a $t$ . Não, isso não ajuda.

Construção correta: Trace uma linha por $O_{2}$ paralela à reta $t$ . Trace o raio $O_{1} P$ . O ponto $S$ nesta linha paralela é tal que $O_{1} S$ é perpendicular a ela. Considere o triângulo $O_{1} S O_{2}$ . Este triângulo é retângulo em $S$ .

A hipotenusa é a distância entre os centros: $O_{1} O_{2} = 4$ .
O cateto $O_{1} S$ tem comprimento igual à diferença dos raios: $O_{1} S = R_{1} - R_{2} = 3 - 1 = 2$ .
Seja $θ$ o ângulo $∠ S O_{2} O_{1}$ . Este é o ângulo entre o segmento $O_{1} O_{2}$ (eixo x) e a linha $O_{2} S$ (paralela a $t$ ).
No triângulo $O_{1} S O_{2}$ , temos $\sin (θ) = \frac{cateto oposto}{hipotenusa} = \frac{O_{1} S}{O_{1} O_{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Portanto, $θ = 30^{\circ}$ .

A linha $O_{2} S$ é paralela à reta $t$ . O ângulo $θ = 30^{\circ}$ é o ângulo entre o eixo x (segmento $O_{1} O_{2}$ ) e a linha $O_{2} S$ . Como a reta $t$ está acima dos centros e tem inclinação negativa (observando a figura), o ângulo de inclinação $α$ da reta $t$ com o eixo x positivo é $α = 180^{\circ} - θ = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ .

O coeficiente angular $m$ é a tangente do ângulo de inclinação:

m = \tan (α) = \tan (150^{\circ}) = \tan (180^{\circ} - 30^{\circ}) = - \tan (30^{\circ}) = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

3. Determinar o coeficiente linear (b):

A equação da reta é $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ . Podemos reescrevê-la na forma geral $A x + B y + C = 0$ para usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

\frac{\sqrt{3}}{3} x + y - b = 0

Multiplicando por 3 para eliminar o denominador:

\sqrt{3} x + 3 y - 3 b = 0

A distância do centro $O_{1} = (0, 0)$ a esta reta deve ser igual ao raio $R_{1} = 3$ .

Fórmula da distância: $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

d (O_{1}, t) = \frac{| \sqrt{3} (0) + 3 (0) - 3 b |}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 3^{2}}} = \frac{| - 3 b |}{\sqrt{3 + 9}} = \frac{3 | b |}{\sqrt{12}} = \frac{3 | b |}{2 \sqrt{3}}

Sabemos que $d (O_{1}, t) = R_{1} = 3$ :

\frac{3 | b |}{2 \sqrt{3}} = 3 ⟹ | b | = 2 \sqrt{3}

Pela figura, a reta $t$ intercepta o eixo y em um valor positivo, então $b > 0$ . Logo, $b = 2 \sqrt{3}$ .

4. Equação da reta t:

Substituindo $m = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ e $b = 2 \sqrt{3}$ na equação $y = m x + b$ , obtemos:

y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}

5. Verificação e Análise das Alternativas:

A equação que encontramos, $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ , não corresponde exatamente a nenhuma das alternativas. A alternativa B tem o mesmo coeficiente angular ( $m = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ), mas um coeficiente linear diferente ( $b = 3 \sqrt{3}$ ).

Vamos verificar se a alternativa B, $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 3 \sqrt{3}$ , satisfaz as condições de tangência.

Forma geral: $\sqrt{3} x + 3 y - 9 \sqrt{3} = 0$ .
Distância de $O_{1} (0, 0)$ : $d_{1} = \frac{| \sqrt{3} (0) + 3 (0) - 9 \sqrt{3} |}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 3^{2}}} = \frac{| - 9 \sqrt{3} |}{\sqrt{12}} = \frac{9 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{2} = 4.5$ . Isso deveria ser $R_{1} = 3$ .
Distância de $O_{2} (4, 0)$ : $d_{2} = \frac{| \sqrt{3} (4) + 3 (0) - 9 \sqrt{3} |}{\sqrt{12}} = \frac{| 4 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3} |}{2 \sqrt{3}} = \frac{| - 5 \sqrt{3} |}{2 \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{5}{2} = 2.5$ . Isso deveria ser $R_{2} = 1$ .

Como as distâncias não correspondem aos raios, a alternativa B está incorreta, apesar de ser indicada como a resposta correta. Há uma inconsistência na questão (dados vs. opções).

Conclusão da Análise: Com base nos dados fornecidos na figura e no texto (R1=3, R2=1, O1=(0,0), O2=(4,0)), a equação correta da reta tangente é $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ . Nenhuma das opções fornecidas está correta. No entanto, como uma resposta deve ser escolhida e a opção B possui o coeficiente angular correto derivado da geometria do problema, ela é a mais provável de ser a resposta pretendida, assumindo um erro no coeficiente linear da opção ou nos dados do problema.

Assumindo que a questão do ENEM tem a alternativa B como gabarito, reconhecemos a inconsistência matemática. A explicação detalhada acima demonstra o processo correto de resolução que leva a um resultado diferente das opções.

Dicas

Erros Comuns

Revisão

Revisão de Conceitos

Equação da Circunferência: A equação de uma circunferência com centro $(h, k)$ e raio $r$ é $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ .
Equação da Reta: A forma reduzida é $y = m x + b$ , onde $m$ é o coeficiente angular e $b$ é o coeficiente linear. A forma geral é $A x + B y + C = 0$ .
Coeficiente Angular (Inclinação): $m = \tan (α)$ , onde $α$ é o ângulo de inclinação da reta com o eixo x positivo.
Tangência: Uma reta é tangente a uma circunferência se a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio. A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Distância entre Ponto e Reta: A distância do ponto $(x_{0}, y_{0})$ à reta $A x + B y + C = 0$ é dada por $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .
Trigonometria no Triângulo Retângulo: Relações seno, cosseno e tangente (SOH CAH TOA).
Geometria Plana: Propriedades de retas paralelas e perpendiculares, triângulos semelhantes.

Transforme seus estudos com a AIO!

Estudantes como você estão acelerando suas aprovações usando nossa plataforma de IA + aprendizado ativo.

+25 pts

Aumento médio TRI

Simulados mais rápidos

+50 mil

Estudantes

Mariana Scheffel

AIO foi fundamental para a evolução do meu número de acertos e notas, tanto no ENEM quanto em outros vestibulares, fornecendo os recursos e as ferramentas necessárias para estudar de forma eficaz e melhorar minhas notas.

Rejandson, vestibulando

Eu encontrei a melhor plataforma de estudos para o Enem do Brasil. A AIO é uma plataforma inovadora. Além de estudar com questões ela te dá a TRI assim que você termina.

Murilo Martins

Com a ajuda da AIO, aumentei os meus acertos nos simulados e no ENEM, além de garantia uma TRI mais elevada. Recomendo a AIO para estudantes de todo nível, sendo uma maneira de alavancar a sua nota no menor tempo possível!

Comece agora seu caminho para a aprovação