Claretiano 2021
Na figura, D é ponto médio da altura do triângulo equilátero ABC, de perímetro igual a \(36\ cm,\) e também é vértice do triângulo isósceles DBC, cujo ângulo da base está indicado por α
Nestas condições, sen a é igual a
\(\frac{2\sqrt{7}}{7}\)
\(\frac{7\sqrt{7}}{2}\)
\(\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{7}\)
\(\frac{\sqrt{21}}{7}\)
Resolução
1. Medidas do triângulo equilátero ABC
- O perímetro vale \(36\text{ cm}\Rightarrow\) lado \(s=\frac{36}{3}=12\text{ cm}.\)
- A altura do equilátero é \(h=\frac{s\sqrt3}{2}=\frac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3\text{ cm}.\)
2. Posição do ponto D
\(D\) é o ponto médio da altura que sai do vértice \(A\). Logo
- \(AD=DH=\dfrac{h}{2}=3\sqrt3\text{ cm}.\)
- Como \(H\) é o ponto médio de \(\overline{BC}\), temos \(BH=HC=\dfrac{12}{2}=6\text{ cm}.\)
3. Comprimento dos lados de \(\triangle DBC\)
No triângulo retângulo \(\triangle CHD\):
\[CD^2 = CH^2 + DH^2 = 6^2 + (3\sqrt3)^2 = 36 + 27 = 63\;\Rightarrow\;CD = 3\sqrt7\text{ cm}.\]De forma análoga obtém-se \(BD=3\sqrt7\text{ cm}\). Assim \(\triangle DBC\) é isósceles com lados
\[BD = CD = 3\sqrt7\quad\text{e}\quad BC = 12.\]
4. Cálculo de \(\sen\,\alpha\)
No vértice \(C\) formam-se os vetores
- \(\vec{CB} = (12,0)\)
- \(\vec{CD} = (6,3\sqrt3)\)
O cosseno do ângulo \(\alpha\) entre eles é
\[\cos\alpha = \frac{\vec{CB}\cdot\vec{CD}}{|\vec{CB}|\,|\vec{CD}|} = \frac{12\cdot6}{12\,(3\sqrt7)} = \frac{72}{36\sqrt7}=\frac{2}{\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}{7}.\]Então
\[\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha = 1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}\quad\Rightarrow\quad \sen\alpha = \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}.\]5. Resposta
\(\boxed{\dfrac{\sqrt{21}}{7}}\)
Dicas
Erros Comuns
- Triângulo equilátero: todos os lados iguais; altura, mediana e bissetriz coincidem e medem \(h=\dfrac{l\sqrt3}{2}.\)
- Ponto médio: divide um segmento em duas partes iguais.
- Teorema de Pitágoras: em triângulo retângulo, \(a^2=b^2+c^2.\)
- Produto escalar: \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}.\)
- Relação fundamental: \(\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\)
