EMESCAM 2015/2
Na figura abaixo temos um círculo trigonométrico de raio unitário. Ao lado, temos o gráfico da função cosseno do ângulo x.
Das funções listadas nas alternativas abaixo, assinale aquela que expressa corretamente o valor da projeção do ponto M no eixo vertical, para cada ângulo, dentro do círculo trigonométrico.
\(f(x)=cos(2x);\)
\(f(x)=cos\( x+\frac {\pi}{2}\) ;\)
\(f(x)=cos\( x-\frac {\pi}{2}\) ;\)
\(f(x)=cos\( \frac {x-\pi}{2}\) ;\)
\(f(x)=-cos\( \frac {\pi -x}{2}\) .\)
Resolução
Objetivo do problema: identificar a função que fornece a ordenada (projeção sobre o eixo y) do ponto M pertencente ao círculo trigonométrico de raio 1, para um ângulo genérico \(x\).
1. Reconhecendo a coordenada vertical
No círculo trigonométrico de raio unitário, um ponto genérico \(P(x)\) possui coordenadas
\[P(x)=\bigl(\cos(x),\;\sin(x)\bigr).\]
Logo, a projeção vertical (valor em y) é exatamente \(\sin(x)\).
2. Reescrevendo \(\sin(x)\) em termos de cosseno
Sabemos da identidade de fase:
\[\sin(x)=\cos\Bigl(x-\frac{\pi}{2}\Bigr).\]
Portanto, a função que fornece a altura do ponto M é
\[f(x)=\cos\Bigl(x-\frac{\pi}{2}\Bigr).\]
3. Conferindo as alternativas
A alternativa que corresponde a essa expressão é a C.
Dicas
Erros Comuns
- Círculo trigonométrico (raio 1): qualquer ponto \(P(x)\) associado a um ângulo \(x\) tem coordenadas \((\cos x,\;\sin x)\).
- Seno e cosseno como deslocamentos de fase: \(\sin x = \cos\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\) e \(\cos x = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)\).
- Deslocamento horizontal em funções periódicas provoca mudança de fase, mas não altera amplitude nem período (desde que não haja multiplicação por fator dentro do argumento).
