ESPM 2015/2
4
π
2π
2
Resolução
Seja r o raio do quadrante de centro D.
1. Comprimento do arco \(\widehat{AE}\):
Como o arco é um quadrante (ou seja, corresponde a \(\dfrac14\) da circunferência completa), vale
\[\frac14\,(2\pi r)=\pi\;\text{cm}.\]
Simplificando: \(\dfrac{\pi r}{2}=\pi\;\Rightarrow\;r=2\,\text{cm}.\)
2. Dimensões do retângulo:
• Altura: \(AD=r=2\,\text{cm}\).
• Largura: o enunciado diz que \(AB=\pi\,\text{cm}.\)
3. Áreas envolvidas:
• Área do retângulo \(ABCD\): \(A_{\text{ret}} = AB\cdot AD = \pi\cdot2 = 2\pi\,\text{cm}^2.\)
• Área do quadrante de raio 2 cm: \(A_{\text{quad}} = \dfrac14\,\pi r^{2}=\dfrac14\,\pi\,2^{2}=\pi\,\text{cm}^2.\)
4. Área sombreada:
É o retângulo menos a área do quadrante dentro dele:
\[A_{\text{somb}} = 2\pi-\pi = \pi\,\text{cm}^2.\]
Resposta: \(\boxed{\pi}\).
Dicas
Erros Comuns
Quadrante de círculo: é 1/4 da circunferência (90°) e da área do círculo.
Comprimento de arco: para um ângulo central \(\theta\) (em radianos) → \( s = r\,\theta \).
Área de setor: \( A = \frac{\theta}{2\pi}\,\pi r^{2}=\frac{\theta r^{2}}{2} \).
Retângulo: área = base × altura.
Diferença de áreas: quando uma figura está contida em outra, a parte sombreada pode ser obtida subtraindo-se suas áreas.
