PUC-PR Verão Medicina 2019
Na figura a seguir, o ponto P não é fixo e pode ocupar uma posição qualquer desde que PA e PB sejam sempre cordas do círculo de diâmetro AB . Note ainda, na figura, os semicírculos de diâmetros PA e PB.
Adote a seguinte notação: XY = medida ou comprimento de XY.
A soma das áreas das duas regiões sombreadas nessa figura será máxima quando:
\(AB^2=2\cdot PA\cdot PB\)
\(PB=\frac{AB}{2}\ ou\ PA=\frac{AB}{2}\)
\(PA+PB=AB\cdot\sqrt{3}\)
\(AB=\sqrt{PA\cdot PB}\)
\(PA+PB>AB\cdot\sqrt{2}\)
Resolução
1. Identifique o triângulo retângulo
Como \(AB\) é diâmetro de um círculo e \(P\) pertence a essa circunferência, o triângulo \(\triangle APB\) é retângulo em \(P\) (Teorema de Tales).
Denote \(PA=x\), \(PB=y\) e \(AB=c\). Então:
\[x^{2}+y^{2}=c^{2}.\]
2. Áreas dos semicírculos construídos em \(PA\) e \(PB\)
Área de um semicírculo de diâmetro \(d\): \(A_{\text{semi}}=\dfrac{\pi d^{2}}{8}\).
Logo, a soma das áreas dos dois semicírculos é
\[A_{\text{tot}}=\frac{\pi}{8}(x^{2}+y^{2})=\frac{\pi c^{2}}{8}.\]
Essa soma é constante, pois depende apenas de \(c\).
3. Onde a variação acontece?
Sombras = partes dos semicírculos fora do círculo principal. Então
\[A_{\text{somb}}=A_{\text{tot}}-\bigl(\text{soma dos dois segmentos circulares internos}\bigr).\]
Para maximizar \(A_{\text{somb}}\), devemos minimizar a soma das áreas dos segmentos circulares recortados dentro do círculo maior.
4. Área de um segmento circular
Para um segmento definido por uma corda cujo ângulo central é \(\theta\;(0<\theta<\pi)\):
\[A_{\text{seg}}=\frac{R^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),\]
onde \(R=\dfrac{c}{2}\) é o raio do círculo principal.
5. Determinando os ângulos centrais
Sejam \(\alpha=\widehat{A}\) e \(\beta=\widehat{B}\). Como o triângulo é retângulo, \(\alpha+\beta=90^{\circ}\).
- Corda \(AP\): ângulo central \(\theta_{1}=180^{\circ}-2\alpha\).
- Corda \(BP\): ângulo central \(\theta_{2}=180^{\circ}-2\beta=2\alpha\).
Observe que \(\theta_{1}+\theta_{2}=180^{\circ}=\pi\;\text{rad}.\)
6. Soma dos dois segmentos
\[A_{\text{seg,soma}}=\frac{R^{2}}{2}\Bigl[\theta_{1}+\theta_{2}-\bigl(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}\bigr)\Bigr] =\frac{R^{2}}{2}\Bigl[\pi-\bigl(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}\bigr)\Bigr].\]
Mas \(\theta_{2}=\pi-\theta_{1}\) ⇒ \(\sin\theta_{2}=\sin(\pi-\theta_{1})=\sin\theta_{1}\).
Logo
\[A_{\text{seg,soma}}=\frac{R^{2}}{2}\bigl[\pi-2\sin\theta_{1}\bigr].\]
7. Otimizando
Para minimizar a expressão acima, devemos maximizar \(\sin\theta_{1}\). Como \(0<\theta_{1}<\pi\), o máximo de \(\sin\theta_{1}\) é 1, conseguido em
\[\theta_{1}=\frac{\pi}{2}\;(90^{\circ}).\]
Desse modo,
\[\pi-2\sin\theta_{1}\;\text{mínimo}\Longrightarrow\theta_{1}=90^{\circ}\;\Longrightarrow\;180^{\circ}-2\alpha=90^{\circ}\;\Longrightarrow\;\alpha=45^{\circ}.\]
Como \(\alpha+\beta=90^{\circ}\), também \(\beta=45^{\circ}\). Logo \(PA=PB\).
8. Condição em termos de lados
Pela igualdade \(PA=PB\;\,(=x)\) e pelo Teorema de Pitágoras:
\[c^{2}=x^{2}+x^{2}=2x^{2}=2\,PA\cdot PB.\]
Portanto, a soma das áreas sombreadas é máxima quando
\[AB^{2}=2\,PA\cdot PB.\]
Alternativa correta: A.
Dicas
Erros Comuns
- Tales (circunferência de diâmetro AB): Qualquer triângulo inscrito tendo AB como diâmetro é retângulo em seu terceiro vértice.
- Teorema de Pitágoras: Em triângulo retângulo, hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.
- Área de semicírculo: \(\dfrac{\pi d^{2}}{8}\).
- Segmento circular: Área de um segmento definido por ângulo central \(\theta\): \(\dfrac{R^{2}}{2}(\theta-\sin\theta)\).
- Otimização: Se a parte fixa é constante, maximizar o total ≡ minimizar a parte variável.
