UEG 2017/1
Na figura a seguir, as retas r, s , t, u são paralelas e seus coeficientes lineares estão em uma progressão aritmética de razão - 2.
Sabendo-se que a equação da reta p é \(y=-\frac{1}{2}x+3\) e da reta u é \(y=3x-5\) , o ponto de intersecção da reta p com a reta s é
\(\left(\frac{4}{7},\frac{19}{7}\right)\)
\(\left(\frac{8}{7},\frac{17}{7}\right)\)
\(\left(\frac{12}{7},\frac{15}{7}\right)\)
\(\left(\frac{16}{7},\frac{13}{7}\right)\)
\(\left(\frac{18}{7},\frac{11}{7}\right)\)
Resolução
Seja b o coeficiente linear (interseção com o eixo y) de cada reta paralela:
- reta r: \(b_1\)
- reta s: \(b_2\)
- reta t: \(b_3\)
- reta u: \(b_4\)
Foi informado que esses coeficientes formam uma progressão aritmética (PA) de razão \(-2\). Assim,
\[b_2=b_1-2,\; b_3=b_2-2,\; b_4=b_3-2\]
A equação da reta u é \(y=3x-5\); logo, seu coeficiente linear é
\[b_4=-5\]
Substituindo sucessivamente a razão \(-2\):
\[\begin{aligned} b_3&=b_4+2=-5+2=-3\\ b_2&=b_3+2=-3+2=-1\\ b_1&=b_2+2=-1+2=1 \end{aligned}\]
Como as retas r, s, t e u são paralelas, todas têm o mesmo coeficiente angular (inclinação) da reta u, isto é, \(m=3\).
Portanto, a equação da reta s é
\[y=3x-1\]
Para achar o ponto de intersecção de p com s, igualamos suas equações:
\[\begin{aligned} &y = -\tfrac12 x +3\\ &y = 3x -1 \end{aligned}\Rightarrow -\frac12 x +3 = 3x -1\]
Resolvendo a equação:
\[\begin{aligned} 3 &= 3x + \frac12 x -1\\[4pt] 3 &= \frac{7}{2}x -1\\[4pt] 4 &= \frac{7}{2}x\\[4pt] x &= \frac{8}{7} \end{aligned}\]
Substituindo em \(y = 3x - 1\):
\[y = 3\left(\frac{8}{7}\right)-1 = \frac{24}{7}-\frac{7}{7} = \frac{17}{7}\]
Logo, o ponto procurado é \(\left(\frac{8}{7},\frac{17}{7}\right)\).
Alternativa correta: B
Dicas
Erros Comuns
- Equação da reta (forma reduzida): \(y = mx + b\), onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).
- Retas paralelas: têm o mesmo coeficiente angular (m).
- Progressão aritmética (PA): sequência em que cada termo difere do anterior por uma constante (razão r). Se \(a_n\) é o último termo, então os anteriores são \(a_{n-1}=a_n-r\), \(a_{n-2}=a_n-2r\) e assim por diante.
- Interseção de retas: é obtida ao resolver o sistema formado por suas equações (igualar \(y\) e resolver para \(x\), depois para \(y\)).
