IME 2020
Na experiência de Thomas Young, também conhecida como experiência da fenda dupla, uma luz é difratada por uma fenda F0 no anteparo A1. Em seguida, o feixe de ondas difratado é novamente difratado por outras duas fendas, F1 e F2 no anteparo A2, formando no anteparo A3 um padrão de interferência constituído por franjas claras (interferência construtiva), alternadas por franjas escuras (interferência destrutiva), conforme mostra a figura. A distância y que separa as franjas (claras ou escuras) do ponto central O, vistas sobre o anteparo A3, pode ser definida em função da distância D entre os anteparos A2 e A3, e da distancia d entre as fendas F1 e F2. Essa distância é dada pela equação:
\(y=\frac{n}{2d}Dv^xf^z,\)
em que: n é o número de ordem da interferência; e f é a frequência da luz que se propaga com velocidade v nos percursos ópticos a e b.
Para que a equação seja dimensionalmente correta e para que os raios que partem de F1 e F2 atinjam o ponto P, os valores de n, x e z são, respectivamente:
1, 1 e -1
1, 1 e 1
2, -1 e -1
3, 1 e 1
3, 1 e -1
Resolução
1. Análise dimensional da equação
A distância y deve ter dimensão de comprimento \([L]\).
Equação apresentada:
\[y = \frac{n}{2d}\,D\,v^{x}f^{z}.\]
- \(n\) é adimensional.
- \(D\) e \(d\) têm dimensão \([L]\).
- Velocidade: \(v\) → \([L\,T^{-1}]\).
- Frequência: \(f\) → \([T^{-1}]\).
Dimensão do segundo membro:
\[\bigl([L] \bigr)\;[L]^{x}\,[T^{-1}]^{x}\,[T^{-1}]^{z}= [L]^{1+x}\,[T]^{-(x+z)}.\]
Para que resulte em \([L]\):
- Expoente de \([L]\): \(1+x = 1 \Rightarrow x = 1\).
- Expoente de \([T]\): \(-(x+z)=0 \Rightarrow x+z=0 \Rightarrow z=-1\).
Logo x = 1 e z = -1.
2. Relação geométrica para que os raios atinjam P
Nos limites de ângulos pequenos, o desvio angular dos raios que partem das fendas até o ponto P vale \(\theta\approx y/D\). A diferença de caminho óptico é
\[\Delta = d\sin\theta \approx d\,\frac{y}{D}.\]
Para que os dois feixes interfiram numa franja de ordem \(n\) (definida em meios ciclos), impõe‑se
\[\Delta = \frac{n\lambda}{2}.\]
Substituindo \(\lambda=v/f\) e isolando \(y\):
\[y = \frac{n}{2d}D\frac{v}{f}.\]
Este resultado reproduz exatamente a expressão do enunciado quando \(x=1\) e \(z=-1\). A figura mostra P situado na segunda franja escura acima do centro (contando O → claro, depois escuro, claro, escuro). Para uma franja escura é necessário \(n\) ímpar; contando na figura vê-se que ela corresponde a \(n=3\).
3. Conclusão
Os valores corretos são
n = 3, x = 1, z = −1.
Dicas
Erros Comuns
Principais conceitos
- Experiência de Young: duas fendas iluminadas dão origem a dois feixes coerentes que interferem num anteparo distante.
- Diferença de caminho óptico: \(\Delta = d\sin\theta\). Para pequenos ângulos, \(\sin\theta \approx y/D\).
- Condições de interferência
Constructiva: \(\Delta = m\lambda\).
Destrutiva: \(\Delta = (m+1/2)\lambda\).
Em termos do número inteiro \(n\) (meios comprimentos de onda): \(\Delta = n\lambda/2\). - Relação entre frequência, velocidade e comprimento de onda: \(\lambda = v/f\).
- Análise dimensional: as unidades de ambos os lados de uma equação física devem coincidir.
