PUC-SP Verão 2014

Passo 1 – Reconheça a simetria
A figura é simétrica por rotações de 90 ° e, principalmente, pelo eixo formado pela diagonal que liga os pontos A e D. Se uma fonte fosse ligada entre A e D, pontos que são imagens um do outro por essa diagonal ficam ao mesmo potencial. Assim:

• qualquer resistor que una dois pontos equipotenciais não conduz corrente → pode ser eliminado do circuito;
• os resistores que estão exatamente sobre a diagonal pertencem aos dois semicírculos idênticos gerados pela dobra; ao dobrarmos o circuito, eles aparecem em paralelo — equivalem, portanto, a \(R/2\).

Passo 2 – Dobre o circuito sobre AD
Depois da “dobra” restam apenas os ramos que realmente participam da condução entre A e D. O desenho reduz-se a duas metades idênticas em paralelo, cada uma contendo três resistores em série:

1. o resistor que liga o canto da moldura externa ao canto da moldura intermediária – valor \(R\);
2. o resistor que está sobre a diagonal (ficou com valor \(R/2\));
3. o resistor que liga a moldura intermediária à moldura mais interna – também \(R\).

Logo, a resistência de uma dessas metades é

\[ R_{\text{ramo}} = R + \frac{R}{2} + R = 2{,}5R = \frac{5R}{2} . \]

Passo 3 – Coloque as duas metades em paralelo

\[ R_{\text{par}} = \frac{\dfrac{5R}{2}\;\cdot\;\dfrac{5R}{2}}{\dfrac{5R}{2}+\dfrac{5R}{2}} = \frac{\bigl(\tfrac{25R^{2}}{4}\bigr)}{5R} = \frac{5R}{4}=1{,}25R . \]

Passo 4 – Adicione o resistor central
Entre os dois pontos do quadrado mais interno (onde está D) ainda há um resistor sobre a diagonal. Após a dobra ele vale \(R/2+R/2 = R\) e fica em série com o resultado do passo 3:

\[ R_{\text{eq}} = R_{\text{par}} + R = 1{,}25R + 1,00R = 2{,}25R = \frac{9R}{4} . \]

Conclusão: a resistência equivalente entre A e D é \(\boxed{\dfrac{9R}{4}}\).