ENEM 2014 terceira aplicação

A questão pede para determinar o caminho de menor comprimento que uma formiga deve seguir sobre a superfície de uma caixa retangular (paralelepípedo) para ir do vértice J ao vértice P.

O princípio fundamental para encontrar o menor caminho entre dois pontos sobre a superfície de um poliedro é planificar (desdobrar) as faces que conectam esses pontos e traçar uma linha reta entre eles no plano.

Sejam as dimensões da caixa: comprimento \(JK = l\), largura \(JM = w\) e altura \(JN = h\). O ponto J está no vértice superior-frontal-esquerdo (assumindo a orientação da imagem) e o ponto P está no vértice inferior-posterior-direito.

Existem diferentes maneiras de planificar as faces da caixa que contêm os pontos J e P. Vamos analisar as três planificações principais que conectam J e P através de duas faces adjacentes:

Planificação 1: Desdobrando a face superior (JKLM) e a face posterior (MLQP). Colocamos a face MLQP adjacente à JKLM ao longo da aresta ML. No plano, J e P terão coordenadas relativas. Se J=(0, w), M=(0,0), L=(l,0), então P (que está na face MLQP, abaixo de L) terá coordenadas P=(l, -h). A distância JP será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento \(l\) e \(w+h\).
\[ d_1 = \sqrt{l^2 + (w+h)^2} \]

Planificação 2: Desdobrando a face superior (JKLM) e a face direita (KLPO). Colocamos a face KLPO adjacente à JKLM ao longo da aresta KL. No plano, se J=(0, w), K=(l,w), L=(l,0), então P (que está na face KLPO, à direita de L) terá coordenadas P=(l+h, 0). A distância JP será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento \(l+h\) e \(w\).
\[ d_2 = \sqrt{(l+h)^2 + w^2} \]

Planificação 3: Desdobrando a face frontal (JNKO) e a face direita (KLPO). Colocamos a face KLPO adjacente à JNKO ao longo da aresta KO. No plano, se J=(0, h), N=(0,0), K=(l,h), O=(l,0), então P (que está na face KLPO, à direita de O) terá coordenadas P=(l+w, 0). A distância JP será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de comprimento \(l+w\) e \(h\).
\[ d_3 = \sqrt{(l+w)^2 + h^2} \]

O menor caminho possível será o menor entre os valores \(d_1, d_2, d_3\). O valor exato depende das dimensões \(l, w, h\) da caixa, que não foram fornecidas.

No entanto, a questão pergunta qual *caminho* a formiga deve seguir. As opções (que não foram fornecidas no enunciado original, mas sabemos que a correta é E) tipicamente descreveriam ou sequências de vértices ou a trajetória geral. Caminhos que seguem apenas as arestas (como J-K-L-P) têm comprimento \(l+w+h\) e são geralmente mais longos do que o caminho reto na planificação (\(\sqrt{a^2+b^2} \le a+b\)). O caminho mais curto será sempre uma linha reta sobre uma das planificações possíveis.

A observação sobre o ponto R ser o ponto médio de NQ parece ser um distrator, pois não há razão para o caminho mais curto passar por R, a menos que as dimensões da caixa fossem muito específicas (o que não é o caso geral).

Portanto, o caminho de menor comprimento corresponde à linha reta que une J e P em uma das três planificações mostradas. A opção correta (E) deve descrever um desses caminhos que atravessa duas faces adjacentes em linha reta.

Conclusão: Sem as opções explícitas, não podemos apontar a descrição exata do caminho. Contudo, o método para encontrar o menor caminho envolve planificar as faces entre os pontos J e P e calcular a distância em linha reta nessa planificação. O caminho correto é aquele que corresponde à menor dessas distâncias.