UERJ 2009/2
Uma jóia é considerada de ouro n quilates se
de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro, maior ou igual a 1 e menor ou igual a 24.Uma aliança de ouro 15 quilates tem massa igual a 4 g.
Para transformar essa aliança em outra, de ouro 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é necessário acrescentar, em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a:
Resolução
Em joias, dizer que o metal é de n quilates significa que a fração \(\frac{n}{24}\) de sua massa é ouro puro.
\n- \n
- Massa total inicial: \(m_0 = 4\,\text{g}\). \n
- Teor de ouro: \(\frac{15}{24}\). \n
- Massa de ouro inicial: \(m_{Au0}=4\times\frac{15}{24}=4\times\frac{5}{8}=2{,}5\,\text{g}\). \n
- Massa dos outros metais (permanecerá a mesma): \(m_{outros}=4-2{,}5=1{,}5\,\text{g}\). \n
- \n
- Massa de ouro depois do acréscimo: \(m_{Au}=2{,}5+x\). \n
- Massa total depois do acréscimo: \(m=4+x\). \n
A nova liga deve ser de 18 quilates, isto é, \(\frac{18}{24}=\frac34\) da massa total precisa ser ouro:
\n\[\frac{2{,}5+x}{4+x}=\frac34\]\nMultiplicando cruzado:
\n\[4\bigl(2{,}5+x\bigr)=3\bigl(4+x\bigr)\]\n\[10+4x=12+3x\]\n\[x=2\,\text{g}\]\nPortanto, deve-se acrescentar 2 g de ouro puro.
\nDicas
Erros Comuns
Quilates em ligas de ouro
• Joias de ouro usam o sistema de 24 quilates. Assim, uma liga n quilates contém exatamente \(\frac{n}{24}\) de ouro puro em massa.
• Ao misturar ligas, a quantidade de cada componente (ouro e outros metais) deve ser contabilizada separadamente.
• Para preservar a composição dos metais não - ouro, mantêm-se suas massas e ajusta-se apenas a do ouro puro.
• Problemas desse tipo geralmente levam a uma equação de proporção: \(\frac{\text{massa de ouro}}{\text{massa total}}=\frac{n}{24}\).
