UEL 2020

Muitas formas presentes na natureza são de difícil representação por entes geométricos tradicionais, como retas, planos e cubos, mas que podem ser aproximadas por meio da aplicação de operações geométricas sucessivas. Por exemplo, certos animais filtradores, como as esponjas, possuem esqueleto flexível de espongina, que podem ter sua forma aproximada pela n-ésima etapa da construção da região denominada Esponja de Menger, cujo volume V (n) é dado por

\(V(n)=\left(\frac{20}{27}\right)^{n-1}-7.20^{n-1}.\left(\frac{1}{27}\right)^n,\) para n ∈ ℕ*

Na sequência, estão ilustrados um esqueleto flexível de espongina, um cubo unitário e as três primeiras etapas da construção da Esponja de Menger, como apresentado na exposição "A Beleza da Matemática"do Museu do Amanhã.

Com base nas informações apresentadas, considere as afirmativas a seguir.

I. As esponjas pertencem ao filo Cnidaria e apresentam, como característica, a presença de um tipo básico de indivíduo denominado pólipo.
II. O volume de cada etapa da construção da Esponja de Menger é menor que o volume da etapa anterior, isto é, \(V(n+1)\ <\ V(n)\) para todo n ∈ ℕ*
III. Independentemente de qual etapa da construção da Esponja de Menger seja considerada, seu volume é um número racional.
IV. Além da espongina, a estrutura esquelética das esponjas é constituída por colágeno fibrilar, uma proteína, e espículas silicosas ou calcáreas.

Assinale a alternativa correta.