OBMEP 2006
Mônica quer dividir o mostrador de um relógio em três partes com 4 números cada uma usando duas retas paralelas. Ela quer também que a soma dos quatro números em cada parte seja a mesma. Quais os números que vão aparecer em uma das partes quando Mônica conseguir o que ela quer?
1, 6, 7, 12
3, 4, 9, 10
12, 2, 5, 7
4, 5, 8, 9
1, 7, 8, 10
Resolução
1. Soma total do mostrador
\[1+2+\dots+12 = 78.\]
Se cada parte deve ter 4 números e a mesma soma, então essa soma é
\[\frac{78}{3}=26.\]
2. Como ficam as regiões criadas por duas retas paralelas
Ao atravessar o círculo, cada reta corta a circunferência em dois pontos. Os quatro pontos aparecem intercalados (L1, L2, L1, L2). Assim:
- as regiões externas (acima da 1ª reta e abaixo da 2ª) correspondem a um arco contínuo cada uma → quatro números consecutivos em cada região;
- a região central (a "faixa" entre as retas) corresponde a dois arcos opostos → dois pares de números consecutivos que se encontram em posições diametralmente opostas; tais números vêm em pares que somam 13 (opostos no relógio).
3. Buscando quartetos que somem 26
a) quatro consecutivos que somem 26:
• 11-12-1-2 (11+12+1+2=26)
• 5-6-7-8 (5+6+7+8=26)
b) dois pares opostos que somem 26 (cada par soma 13):
• 3-4 e 9-10 → 3+4+9+10=26
• 1-12 e 6-7 → 1+12+6+7=26 (opção A)
4. Verificando se existe partição compatível
• Tomemos o candidato central 3-4-9-10 (opção B). Os números restantes são
\{11,12,1,2,5,6,7,8\}.
Eles se agrupam exatamente nos dois arcos contínuos encontrados acima:
11-12-1-2 = 26
5-6-7-8 = 26
Logo formamos três partes de soma 26 obedecendo ao posicionamento exigido.
• Tentemos o quarteto 1-6-7-12 (opção A) na região central. Restam
\{2,3,4,5,8,9,10,11\}.
Não há como dividi-los em dois arcos contínuos de 4 números que também somem 26 (2-3-4-5=14; 8-9-10-11=38).
As demais opções sofrem problema análogo.
5. Conclusão
O único conjunto que realmente pode aparecer em uma das partes é
3, 4, 9 e 10.
Dicas
Erros Comuns
- Soma de progressão aritmética simples: \(1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\).
- Números opostos no mostrador: somam 13 (12↔1, 11↔2, 10↔3, …).
- Interseção de retas paralelas com um círculo: cada reta gera dois pontos; os quatro pontos alternam-se na circunferência, criando dois arcos externos (contínuos) e dois arcos internos (opostos) para a faixa central.
- Partição em partes iguais: se os valores totais são conhecidos, dividir em partes com a mesma soma evita tentativas aleatórias.
