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OBMEP 2013
Maria viajou de Quixajuba a Pirajuba, fazendo uma parada quando tinha percorrido exatamente um terço do caminho. O rendimento de seu carro foi de 12 km por litro de combustível antes da parada e de 16 km por litro no restante do trajeto. Qual foi o rendimento do carro na viagem completa?
a
13,3 km/L
b
14 km/L
c
14,4 km/L
d
14,7 km/L
e
15 km/L
Ver resposta
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Resposta
C
Tempo médio
6 min
Resolução
Para calcular o rendimento médio da viagem inteira, precisamos considerar a distância total percorrida e o volume total de combustível gasto.
1. Defina a distância total.
Seja \(D\) a distância total, de Quixajuba a Pirajuba.
2. Separe o trajeto em dois trechos.
- Primeiro trecho: \(\frac{1}{3}D\)
- Segundo trecho: \(\frac{2}{3}D\)
3. Calcule o combustível gasto em cada trecho.
• No primeiro trecho o carro faz 12 km/L:
\[\text{Litros}_{1}=\frac{\tfrac{1}{3}D}{12}=\frac{D}{36}\]
• No segundo trecho o carro faz 16 km/L:
\[\text{Litros}_{2}=\frac{\tfrac{2}{3}D}{16}=\frac{2D}{48}=\frac{D}{24}\]
4. Obtenha o consumo total.
\[\text{Litros}_{\text{total}}=\frac{D}{36}+\frac{D}{24}=\frac{2D+3D}{72}=\frac{5D}{72}\]
5. Rendimento médio na viagem.
\[\text{Rendimento}=\frac{\text{Distância total}}{\text{Litros total}}=\frac{D}{\tfrac{5D}{72}}=\frac{72}{5}=14{,}4\text{ km/L}\]
6. Resposta.
O rendimento médio do carro foi de 14,4 km/L.
1. Defina a distância total.
Seja \(D\) a distância total, de Quixajuba a Pirajuba.
2. Separe o trajeto em dois trechos.
- Primeiro trecho: \(\frac{1}{3}D\)
- Segundo trecho: \(\frac{2}{3}D\)
3. Calcule o combustível gasto em cada trecho.
• No primeiro trecho o carro faz 12 km/L:
\[\text{Litros}_{1}=\frac{\tfrac{1}{3}D}{12}=\frac{D}{36}\]
• No segundo trecho o carro faz 16 km/L:
\[\text{Litros}_{2}=\frac{\tfrac{2}{3}D}{16}=\frac{2D}{48}=\frac{D}{24}\]
4. Obtenha o consumo total.
\[\text{Litros}_{\text{total}}=\frac{D}{36}+\frac{D}{24}=\frac{2D+3D}{72}=\frac{5D}{72}\]
5. Rendimento médio na viagem.
\[\text{Rendimento}=\frac{\text{Distância total}}{\text{Litros total}}=\frac{D}{\tfrac{5D}{72}}=\frac{72}{5}=14{,}4\text{ km/L}\]
6. Resposta.
O rendimento médio do carro foi de 14,4 km/L.
Dicas
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Divida a viagem em dois trechos proporcionais a 1/3 e 2/3 da distância.
Calcule quantos litros foram gastos em cada trecho (distância/rendimento).
Some os litros e divida a distância total pelo total de litros.
Erros Comuns
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Fazer média aritmética simples entre 12 km/L e 16 km/L.
Não ponderar pelos comprimentos desiguais dos trechos.
Somar diretamente rendimentos em km/L, em vez de somar litros.
Revisão
Média ponderada de rendimentos (km/L)
• O rendimento (km/L) não se soma diretamente. Devemos:
1. Calcular a quantidade de combustível em cada parte.
2. Somar os volumes de combustível.
3. Dividir a distância total pelo volume total.
• Fórmula geral: \(\text{Rendimento médio}= \dfrac{\sum d_i}{\sum (d_i/r_i)}\), onde \(d_i\) é cada distância e \(r_i\) o rendimento correspondente.
• O rendimento (km/L) não se soma diretamente. Devemos:
1. Calcular a quantidade de combustível em cada parte.
2. Somar os volumes de combustível.
3. Dividir a distância total pelo volume total.
• Fórmula geral: \(\text{Rendimento médio}= \dfrac{\sum d_i}{\sum (d_i/r_i)}\), onde \(d_i\) é cada distância e \(r_i\) o rendimento correspondente.
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