Para resolver esta questão, precisamos determinar o número total de maneiras diferentes de preencher um volante da LOTOGOL. O problema envolve o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), pois a aposta consiste em fazer uma série de escolhas independentes.
1. Entendendo as escolhas por jogo:
Em cada um dos 5 jogos, o apostador precisa definir um palpite para o placar. Isso significa que para cada jogo, é preciso escolher o número de gols do time da casa e o número de gols do time visitante.
2. Opções de gols por time:
Para cada time em um jogo, as opções de número de gols são: 0, 1, 2, 3 ou "+" (que representa 3 ou mais gols). Portanto, há 5 opções possíveis para o número de gols de cada time.
3. Número de combinações por jogo:
Como há 5 opções para o time da casa e 5 opções para o time visitante, o número total de placares possíveis para um único jogo é o produto das opções para cada time (pelo PFC):
Número de placares por jogo = (Opções para Time A) × (Opções para Time B)
Número de placares por jogo = 5 × 5 = 25
4. Número total de apostas possíveis:
A aposta completa na LOTOGOL consiste em prever os placares para os 5 jogos. Como a escolha do placar para cada jogo é independente das escolhas para os outros jogos, podemos aplicar o PFC novamente. O número total de apostas diferentes é o produto do número de combinações possíveis para cada um dos 5 jogos:
Número total de apostas = (Combinações Jogo 1) × (Combinações Jogo 2) × (Combinações Jogo 3) × (Combinações Jogo 4) × (Combinações Jogo 5)
Número total de apostas = 25 × 25 × 25 × 25 × 25
Número total de apostas = 255
5. Simplificando a expressão:
Podemos reescrever a base 25 como uma potência de 5, pois \(25 = 5^2\). Substituindo na expressão anterior:
Número total de apostas = \((5^2)^5\)
Usando a propriedade de potência de potência \((a^m)^n = a^{m \times n}\):
Número total de apostas = \(5^{2 \times 5}\)
Número total de apostas = \(5^{10}\)
Portanto, o número total de diferentes apostas que podem ser feitas no LOTOGOL é igual a \(5^{10}\).
