UEL 1° Fase 2018
Leia o texto e observe a figura a seguir.
O corpo da galinha sabe muito de geometria. Foi o ovo que me contou. Porque o ovo é um objeto geométrico construído segundo rigorosas relações matemáticas. A galinha nada sabe sobre geometria, na cabeça. Mas o corpo dela sabe. Prova disso é que ela bota esses assombros geométricos. Sabe muito também sobre anatomia. O ovo não é uma esfera.
(ALVES, R. O ovo. Correio Popular, Caderno C, 3 fev. 2002.)
Dois valores positivos são necessários para descrever a geometria de um ovo: R e L . Em função destes, o volume total V do ovo é dado pela expressão V = πR2 L. Suponha que um ovo flutue em um copo d’água, conforme indicado na figura. Um matemático determina que o volume S da parte submersa do ovo, em função da altura h > 0 da parte que se encontra acima d’água, é dado pela equação a seguir.
\(s=\frac{\pi R^2}{L}\left(L^2-\frac{1}{2}h^2\right)\)
Considerando as equações, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de h , sabendo que o volume da parte submersa corresponde a 80% do volume total do ovo.
L
0, 2L
0, 8L
\(\frac{\sqrt{8}}{10}L\)
\(\frac{\sqrt{10}}{5}L\)
Resolução
Temos duas expressões fornecidas:
- Volume total do ovo: \(V = \pi R^{2}L\).
- Volume submerso do ovo, em função da altura emergente \(h\):
\[S = \frac{\pi R^{2}}{L}\left(L^{2}-\frac{1}{2}h^{2}\right).\]
A condição do enunciado diz que a parte submersa corresponde a 80 % do volume total, isto é
\[S = 0{,}8V.\]
Substituindo as duas expressões:
\[\frac{\pi R^{2}}{L}\left(L^{2}-\frac{1}{2}h^{2}\right)=0{,}8(\pi R^{2}L).\]
Cancela-se o fator comum \(\pi R^{2}\):
\[\frac{1}{L}\Bigl(L^{2}-\tfrac{1}{2}h^{2}\Bigr)=0{,}8L.\]
Multiplicando ambos os lados por \(L\):
\[L^{2}-\tfrac{1}{2}h^{2}=0{,}8L^{2}.\]
Isolando o termo com \(h\):
\[L^{2}-0{,}8L^{2}=\tfrac{1}{2}h^{2}\;\;\Longrightarrow\;\;0{,}2L^{2}=\tfrac{1}{2}h^{2}.\]
Multiplicando por 2:
\[0{,}4L^{2}=h^{2}.\]
Como \(0{,}4=\dfrac{2}{5}\):
\[h^{2}=\frac{2}{5}L^{2}\;\;\Longrightarrow\;\;h=\sqrt{\frac{2}{5}}\,L.\]
Racionalizando o denominador:
\[h=\frac{\sqrt{10}}{5}L.\]
Portanto, a alternativa correta é a E.
Dicas
Erros Comuns
- Relação entre volumes proporcionais – igualar parte ao todo por meio de porcentagem.
- Cancelamento de fatores comuns – fator \(\pi R^{2}\) aparece em ambas as expressões.
- Manipulação algébrica – isolar a incógnita, trabalhar com frações e raiz quadrada.
- Porcentagem em forma decimal – 80 % = 0,8.
