UEMA 2018
Leia o texto a seguir para responder à questão 50.
Muitas vezes, em nosso dia a dia, quando queremos resfriar algo rapidamente, colocamos o recipiente que o contém imerso em água fria. Tal situação é um exemplo da lei do resfriamento de Newton. Ela estabelece que, quando um corpo é colocado em um ambiente mantido à temperatura constante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do ambiente, a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente.
Assim, se T(t) representa a temperatura de um corpo no instante t > 0, com t em minutos, e Tm (t) é a temperatura do meio em torno desse corpo, tem-se que a formulação matemática dessa lei é:
T (t) = Tm(t) + C . e k t , onde k e C são constantes reais.
Considere que um termômetro é retirado de um local com temperatura de 70ºC e colocado em um ambiente com temperatura de 10ºC. Após 30 segundos, esse termômetro indica 50ºC.
(Dados: ln 2 = 0,693, ln 3 = 1,098 e ln 6 =1,791; usar para o tempo a aproximação com duas casas decimais).
LIMA, L.Temas e Ploblemas, Rio de Janeiro: SBM, 2003 Disponível em: www.cefetrs.tche.br (Adaptado)
O tempo, em minutos, necessário para que esse termômetro marque 20ºC é, aproximadamente, de
0,81
1,35
2,21
4,42
132,66
Resolução
Seja \(T(t)=T_m+C\,e^{kt}\) a temperatura (em °C) indicada pelo termômetro transcorrido um tempo \(t\) (em minutos). Para este problema:
- Temperatura do ambiente (constante): \(T_m = 10\;\text{°C}\).
- Temperatura inicial do termômetro (\(t=0\)): \(T(0)=70\;\text{°C}\).
1. Determinação da constante C
No instante \(t=0\)
\[70 = 10 + C\,e^{k\cdot 0}\;\;\Rightarrow\;\;C = 60.\]
Logo, \[T(t)=10+60\,e^{kt}.\]
2. Cálculo da constante k
Após 30 s (⇒ \(t=1\;\text{minuto}\) conforme aproximação solicitada), o termômetro marca \(50\;\text{°C}\):
\[50 = 10 + 60\,e^{k\cdot 1}\;\;\Longrightarrow\;\;40 = 60\,e^{k}\;\;\Longrightarrow\;\;e^{k}=\frac{2}{3}.\]
Tomando logaritmos naturais:
\[k = \ln\!\left(\frac{2}{3}\right)=\ln 2 - \ln 3 = 0{,}693 - 1{,}098 = -0{,}405.\]
3. Tempo para atingir 20 °C
Deseja-se \(T(t)=20\;\text{°C}\). Substituindo:
\[20 = 10 + 60\,e^{k t}\;\;\Longrightarrow\;\;10 = 60\,e^{k t}\;\;\Longrightarrow\;\;e^{k t}=\frac{1}{6}.\]
Aplicando logaritmo natural:
\[k t = \ln\!\left(\frac{1}{6}\right)= -\ln 6 = -1{,}791.\]
Como \(k=-0{,}405\):
\[t=\frac{-1{,}791}{-0{,}405}\approx 4{,}42\;\text{minutos}.\]
Resposta
O tempo necessário para que o termômetro marque 20 °C é, aproximadamente, 4,42 min.
Dicas
Erros Comuns
- Lei do resfriamento de Newton: a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio.
- Função exponencial: \(e^{kt}\) descreve crescimento (\(k>0\)) ou decaimento (\(k<0\)).
- Logaritmo natural: usado para “trazer” o expoente para a frente e resolver para \(t\) ou \(k\).
- Conversão de unidades: atenção ao usar o mesmo sistema (minutos, segundos) em toda a equação.
