Unilago 2018/2
Leia as informações a seguir e responda à questão.
Em um laboratório, há uma luminária que tem a haste (CD = \(41 cm\)) inclinada em relação ao plano horizontal (reta t), fixada sobre um suporte de \(2\ cm\) de altura em relação ao plano horizontal (distância do ponto C à reta t), conforme esquema a seguir.
Considere que o segmento AD é perpendicular a AB, a reta CE é perpendicular à reta t (plano horizontal) e \(D\hat C E=10^\circ.\)
Dados: \(cos(10^{\circ})\cong0,98,sen(10^{\circ})\cong0,17etg(80^{\circ})\cong5,7.\)
O ponto A representa a lâmpada da luminária e AB é perpendicular a t.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a distância aproximada, AB, da lâmpada até o plano horizontal.
40
42 cm
44 cm
47 cm
48 cm
Resolução
O objetivo é determinar a altura \(AB\), distância da lâmpada (ponto A) até o plano horizontal t.
1. Interpretação da figura
- AB é vertical e perpendicular ao plano t.
- CD é a haste inclinada, medindo \(41\;\text{cm}\).
- CE é vertical (perpendicular a t), e o ponto C está sobre um suporte de \(2\;\text{cm}\) de altura.
- O ângulo \(\angle DCE\) entre a haste e a vertical vale \(10^{\circ}\).
- \(AD\) é horizontal, logo A e D têm a mesma altura.
2. Projeção vertical da haste
O triângulo \(\triangle CDE\) é retângulo em E, pois \(CE \perp t\) e \(DE \parallel t\). Assim, tomando CE como cateto adjacente ao ângulo de \(10^{\circ}\):
\[CE = CD\,\cos(10^{\circ})\]
Substituindo:
\[CE \approx 41\;\text{cm}\times 0{,}98 \;\approx\; 40{,}18\;\text{cm}.\]
3. Altura de D em relação ao plano horizontal
C está a \(2\;\text{cm}\) do plano t. Logo, a altura de D (e consequentemente de A) em relação a t é
\[BD = BC + CE = 2\;\text{cm} + 40{,}18\;\text{cm} \approx 42{,}18\;\text{cm}.\]
4. Conclusão
Arredondando para o inteiro mais próximo, a distância \(AB\) é aproximadamente 42 cm.
Resposta: alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Projeção de um segmento inclinado: o cateto adjacente de um triângulo retângulo é obtido multiplicando a hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.
- Ângulo complementar: se um segmento faz \(10^{\circ}\) com a vertical, ele faz \(80^{\circ}\) com a horizontal.
- Somatório de alturas: quando um ponto está sobre uma base já elevada (suporte de 2 cm), a altura total é a soma da elevação da base com a projeção vertical calculada.
