OBMEP 2014
Resolução
Primeiro calcule o total de balas nos oito saquinhos:
\(3+4+7+9+11+12+13+16=75\) balas.
Como elas foram distribuídas igualmente para 3 crianças, cada uma deve receber
\[\frac{75}{3}=25\] balas.
Uma das crianças recebeu o saquinho com 4 balas. Precisamos formar, junto com ele, outros saquinhos que completem exatamente 25 balas.
1. Procure combinações que, somadas a 4, dêem 25 (isto é, que somem 21):
- 9 + 12 = 21
- 3 + 7 + 11 = 21
Testemos cada possibilidade e verifiquemos se o que sobra ainda dá dois grupos de 25:
a) Combinação \(\{4,9,12\}\rightarrow25\)
Restariam \(\{3,7,11,13,16\}\) (50 balas). Não existe subconjunto desses que some 25, portanto essa divisão é impossível.
b) Combinação \(\{4,3,7,11\}\rightarrow25\)
Sobram \(\{9,12,13,16\}\) (50 balas). Agora é possível:
- \(16 + 9 = 25\)
- \(13 + 12 = 25\)
Logo, a única partição viável é:
- Criança 1: \(4,3,7,11\) → 25 balas
- Criança 2: \(16,9\) → 25 balas
- Criança 3: \(13,12\) → 25 balas
Assim, dentre os saquinhos recebidos pela criança que ficou com o saquinho de 4 balas, o que contém mais balas é o saquinho com 11 balas.
Dicas
Erros Comuns
- Soma total e média: Dividir igualmente implica somar tudo e dividir pelo número de grupos.
- Subconjunto com soma fixa (problema de partição): encontrar subconjuntos de valores que atinjam um total específico.
- Eliminação de casos: testar combinações e verificar se o restante também se ajusta às condições.
