UNCISAL 2015
Funções polinomiais: uma visão analítica
Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:
• Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?
• Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?
• Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial?
ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]
Disponível em: <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html>. Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).
Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?
-6
-5
0
5
6
Resolução
- \(r_{1}+r_{2}+r_{3}=-a_{1}\)
- \(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=a_{2}\)
- \(r_{1}r_{2}r_{3}=-a_{3}\)
Dicas
Erros Comuns
Para polinômios monicos (coeficiente líder igual a 1), os coeficientes relacionam-se diretamente com as somas e produtos das raízes. No caso cúbico:
- Soma das três raízes: \(-a_{1}\).
- Soma dos produtos dois a dois: \(a_{2}\).
- Produto das três raízes: \(-a_{3}\).
