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Mackenzie 2021
Funções logísticas são comumente utilizadas na modelagem matemática do contágio de doenças transmissíveis.
A figura a seguir, com a ordenada representando P(x) e a abscissa x, ilustra o gráfico da função
Aumentando-se continuamente o valor de x, o valor correspondente de P se aproxima, cada vez mais, de
a
50.
b
75.
c
100.
d
125.
e
200.
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
\[P(x)=\frac{200}{4+3^{-0{,}1\,(x-50)}}\]
Para descobrir para que valor \(P(x)\) tende quando \(x\) cresce sem limite, analisamos o denominador:
\(3^{-0{,}1\,(x-50)}\).
• Quando \(x\to+\infty\), o fator \(x-50\to+\infty\).
• Multiplicando por \(-0{,}1\) fica \(-0{,}1\,(x-50)\to-\infty\).
• Logo \(3^{-0{,}1\,(x-50)} = \left(3^{\,-0{,}1}\right)^{(x-50)} \to 0\) porque a base é maior que 1 e o expoente vai para \(-\infty\).
Assim, o denominador converge para
\[4 + 0 = 4.\]
Portanto o limite de \(P(x)\) é
\[\lim_{x\to+\infty} P(x)=\frac{200}{4}=50.\]
Resposta: alternativa A.
Para descobrir para que valor \(P(x)\) tende quando \(x\) cresce sem limite, analisamos o denominador:
\(3^{-0{,}1\,(x-50)}\).
• Quando \(x\to+\infty\), o fator \(x-50\to+\infty\).
• Multiplicando por \(-0{,}1\) fica \(-0{,}1\,(x-50)\to-\infty\).
• Logo \(3^{-0{,}1\,(x-50)} = \left(3^{\,-0{,}1}\right)^{(x-50)} \to 0\) porque a base é maior que 1 e o expoente vai para \(-\infty\).
Assim, o denominador converge para
\[4 + 0 = 4.\]
Portanto o limite de \(P(x)\) é
\[\lim_{x\to+\infty} P(x)=\frac{200}{4}=50.\]
Resposta: alternativa A.
Dicas
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Observe o comportamento de 3^{-0,1(x-50)} quando x\to+∞.
Qual é a menor (ou limite) contribuição desse termo no denominador?
Divida o numerador pelo denominador simplificado para obter o limite.
Erros Comuns
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Considerar apenas o valor do numerador e esquecer o denominador.
Achar que o limite é o valor máximo absoluto do numerador (200).
Confundir ponto de inflexão do gráfico com a assíntota horizontal.
Errar o sinal do expoente e concluir que o termo exponencial cresce, não decresce.
Revisão
- Função logística: forma geral \(f(x)=\dfrac{L}{1+ae^{-kx}}\); apresenta crescimento rápido seguido de platô (assimptótico).
- Assíntota horizontal: valor limite que \(f(x)\) se aproxima quando \(x\to\pm\infty\).
- Exponencial com expoente negativo: \(b^{\,-n}\) (com \(b>1\) e \(n\to+\infty\)) tende a zero.
- Limites: substituir valores-limite nas expressões desde que não gere indeterminação.
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