UNIFESP 2009
Resolução
Para a aceleração da gravidade na superfície de um planeta, desconsiderando a rotação, vale a expressão
\n\[ g = \frac{G\,M}{R^{2}} \]
\nonde:
\n- \n
- G é a constante de gravitação universal; \n
- M é a massa do planeta; \n
- R é o raio (distância ao centro). \n
Para Urano (índice U) e a Terra (índice T):
\n\[ g_U = \frac{G M_U}{R_U^{2}} , \qquad g_T = \frac{G M_T}{R_T^{2}} \]
\n1. Razão entre as gravidades
\nO enunciado fornece
\n\[ g_U = 0{,}9\,g_T \]
\n2. Razão entre as massas
\nTambém é dado que
\n\[ M_U = 14{,}4\,M_T \]
\n3. Montagem da razão das gravidades
\nDividindo as equações de \(g_U\) e \(g_T\):
\n\[ \frac{g_U}{g_T} = \frac{\dfrac{G M_U}{R_U^{2}}}{\dfrac{G M_T}{R_T^{2}}} = \frac{M_U}{M_T}\,\frac{R_T^{2}}{R_U^{2}} \]
\nSubstituindo os valores fornecidos:
\n\[ 0{,}9 = 14{,}4\,\frac{R_T^{2}}{R_U^{2}} \]
\n4. Isolamento da razão dos raios
\nRearranjando:
\n\[ \frac{R_U^{2}}{R_T^{2}} = \frac{14{,}4}{0{,}9} = 16 \]
\nTomando a raiz quadrada em ambos os lados:
\n\[ \frac{R_U}{R_T} = \sqrt{16} = 4 \]
\n5. Conclusão
\nPortanto,
\n\[ \boxed{\dfrac{R_U}{R_T} = 4} \]
\nLogo, a alternativa correta é a letra C.
\nDicas
Erros Comuns
- \n
- Gravidade na superfície de um corpo esférico: \(g = G M / R^{2}\). \n
- Proporcionalidades: se dois corpos têm massas e raios diferentes, a razão das gravidades depende da razão \(M/R^{2}\). \n
- Manipulação algébrica: dividir duas equações para eliminar constantes comuns (no caso, \(G\)). \n
- Raiz quadrada: ao obter \(R^{2}\), é necessário extrair a raiz para achar \(R\). \n
